Inequação do 2º grau

Podemos escrever a inequação do 2º grau na forma geral assim: ax² + bx + c > 0 ou ax² + bx + c < 0, em que a, b, c são números reais quaisquer, a ≠ 0. No lugar de “maior que” e “menor que” podemos, naturalmente, usar “maior ou igual a” e “menor ou igual a”.

Coeficiente a positivo

Uma inequação assim se resolve de modo parecido com uma equação do 2º grau comum: primeiro calculamos o discriminante e, a partir do resultado, podemos deduzir o procedimento seguinte. Se o discriminante é positivo, a equação associada tem duas raízes reais. A raiz da equação é um ponto do eixo x no qual o gráfico da função ax² + bx + c cruza o eixo x. Esses dois pontos de interseção dividem, portanto, o eixo x em três intervalos.

Vamos tentar resolver a inequação 2x² − 7x + 3 < 0. Desenhamos o gráfico da função 2x² − 7x + 3, que é assim:

Vemos que o gráfico cruza o eixo x em dois pontos: $x_1=\frac{1}{2}$ e x₂ = 3. Se calculássemos uma equação do 2º grau comum, obteríamos a mesma solução, porque o discriminante dessa equação é

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

As raízes seriam então calculadas assim:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Essas duas raízes dividem o gráfico da função 2x² − 7x + 3 em três intervalos.

• $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[$: nesse intervalo os valores são positivos (o gráfico está “acima” do eixo x, parte azul do gráfico)
• $]\frac{1}{2},3[$: nesse intervalo os valores são negativos (o gráfico está “abaixo” do eixo x, parte vermelha do gráfico)
• ]3, +∞[: nesse intervalo os valores são de novo positivos, a parte azul restante do gráfico.

Observe que nos intervalos usamos colchetes voltados para fora, ]a, b[, que indicam um intervalo aberto. Isso significa que nem o número 3 nem $\frac{1}{2}$ pertencem ao intervalo $]\frac{1}{2},3[$. Isso porque, no ponto x = 3, a função tem valor zero, e nós queríamos listar o intervalo em que os valores são menores que zero.

Agora já temos todas as informações necessárias para determinar o resultado da inequação 2x² − 7x + 3 < 0. Perguntamos: quando os valores da função 2x² − 7x + 3 são menores que zero? Eles são menores que zero no intervalo $]\frac{1}{2},3[$, a parte vermelha do gráfico.

Podemos tentar resolver ainda estas inequações:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: essa inequação difere da anterior por ter ≤ no lugar do simples <. O resultado será o mesmo do caso anterior, só que, no lugar do intervalo aberto, usamos o intervalo fechado. O resultado será, portanto, o intervalo $[\frac{1}{2},3]$, porque nos pontos $\frac{1}{2}$ e 3 a função 2x² − 7x + 3 tem valor zero, e agora procuramos quando essa função é menor ou igual a zero. Não se esqueça: na inequação há o sinal ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: o resultado serão as “partes azuis” do gráfico da função. Devemos unir os intervalos resultantes, porque a função é positiva tanto no intervalo $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[$ quanto no intervalo ]3, +∞[. O conjunto resultante tem a forma $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[\cup ]3,+\mathrm{\infty }[$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: de novo apenas trocamos > por ≥. O resultado será, portanto, o mesmo conjunto, só que incluindo os elementos $\frac{1}{2}$ e 3, o que fazemos com um intervalo fechado: $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,+\mathrm{\infty }[$.

Coeficiente a negativo

O que aconteceria se mudássemos a inequação anterior para −x² + x + 2 < 0? A principal mudança ocorreu no coeficiente a, que agora é igual a a = −1. Na inequação anterior tínhamos 2x², o coeficiente na frente de x² era positivo, enquanto aqui é negativo. O melhor é olharmos o gráfico:

Vemos que o gráfico mudou principalmente por não ter mais a forma da letra “U”, e sim a forma de uma colina. Mas o procedimento não mudou em nada. De novo surgem três intervalos:

• ]−∞, −1[: os valores são negativos.
• ]−1, 2[: os valores são positivos.
• ]2, +∞[: os valores são negativos.

O resultado da inequação −x² + x + 2 < 0 será, portanto, a união dos intervalos ]−∞, −1[ ∪ ]2, +∞[.

Mas eu não quero ficar rabiscando gráficos o tempo todo!

Você não precisa! Todas as soluções anteriores se baseavam em desenhar um gráfico e, dele, ler os pontos de interseção com o eixo x e, em seguida, também se os valores no intervalo dado são positivos ou negativos. Mas dá para fazer de outro jeito.

Se temos a inequação do 2º grau 3x² − 4x + 1 < 0, podemos apenas resolver a equação do 2º grau 3x² − 4x + 1 = 0 pelos métodos clássicos. Calculamos, então, o discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Depois calculamos as raízes da equação do 2º grau:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Sabemos que o gráfico cruza o eixo x nos pontos $x_1=\frac{1}{3}$ e x₂ = 1. Surgem três intervalos: $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{3}[$, $]\frac{1}{3},1[$, ]1, +∞[. A questão é como descobrir se a função f(x) = 3x² − 4x + 1 tem, no intervalo dado, valores positivos ou negativos.

Descobrimos isso colocando na função f(x) = 3x² − 4x + 1, a cada vez, um número do intervalo dado. Se o resultado da função for positivo, a função é positiva em todo o intervalo. O mesmo vale para valores negativos.

• Escolhemos um número qualquer do intervalo $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{3}[$, por exemplo zero, com o qual é fácil calcular. Calculamos a função f para zero: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. O número 1 é positivo, então nesse intervalo os valores são positivos.

• Escolhemos um número do intervalo $]\frac{1}{3},1[$: o melhor provavelmente é um meio:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  O número $-\frac{1}{4}$ é negativo, então nesse intervalo todos os valores são negativos.

• No último intervalo os valores serão iguais aos do primeiro: positivos. Isso sempre se alterna: positivo, negativo, positivo ou negativo, positivo, negativo. Mas podemos muito bem calcular. Escolhemos um número do intervalo ]1, +∞[, por exemplo 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Esse é um número positivo, então todos os valores nesse intervalo são positivos.

Resta concluir a inequação inteira. Ela tinha a forma: 3x² − 4x + 1 < 0. Com base nas informações anteriores, sabemos que a função 3x² − 4x + 1 tem valores negativos no intervalo $]\frac{1}{3},1[$. Só para conferir, podemos olhar o gráfico:

Discriminante nulo

Ao resolver a equação do 2º grau, podemos obter um discriminante nulo. Isso acontece quando o gráfico da função toca o eixo x em um ponto. Vamos mostrar isso na inequação 3x² + 6x + 3 ≥ 0. O discriminante é igual a zero:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

O gráfico seria assim:

Como se vê, o gráfico toca o eixo x em um único ponto, x₁ = −1, e o resto do gráfico está acima do eixo x, em valores positivos. Isso significa que a solução da inequação 3x² + 6x + 3 ≥ 0 é todo o conjunto dos números reais, porque, qualquer que seja o número real colocado no lugar de x, o valor será sempre maior ou igual a zero.

Discriminante negativo

Se obtemos um discriminante negativo, isso significa que o gráfico nunca cruza o eixo x. Como isso aparece nas nossas inequações? Assim: o gráfico está inteiro acima do eixo x ou inteiro abaixo do eixo x. Se transformássemos a inequação anterior assim: 3x² + 6x + 4 > 0 (mudamos o sinal de ≥ para > e mudamos o número três para quatro), o discriminante daria:

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

e o gráfico seria assim:

O gráfico está completamente acima do eixo x; qualquer que seja o número real colocado no lugar de x, o valor resultante será sempre positivo. A solução da inequação é, portanto, de novo o conjunto dos números reais.