Andengradsuligheder

En andengradsulighed kan vi skrive på den generelle form sådan her: ax² + bx + c > 0 eller ax² + bx + c < 0, hvor a, b, c er vilkårlige reelle tal, a ≠ 0. I stedet for »større end« og »mindre end« kan vi naturligvis bruge »større end eller lig med« og »mindre end eller lig med«.

Positiv koefficient a

En sådan ulighed løses på lignende måde som en almindelig andengradsligning: Først beregner vi diskriminanten, og ud fra resultatet kan vi afgøre den videre fremgangsmåde. Hvis diskriminanten er positiv, har den tilhørende ligning to reelle løsninger. En løsning til ligningen er et punkt på x-aksen, hvor grafen for funktionen ax² + bx + c skærer x-aksen. Disse to skæringspunkter deler altså x-aksen op i tre intervaller.

Vi kan prøve at løse uligheden 2x² − 7x + 3 < 0. Vi tegner grafen for funktionen 2x² − 7x + 3, og den ser sådan her ud:

Vi ser, at grafen skærer x-aksen i to punkter: $x_1=\frac{1}{2}$ og x₂ = 3. Hvis vi beregnede den tilsvarende andengradsligning, ville vi få den samme løsning, fordi diskriminanten for denne ligning er

$$d=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Løsningerne ville vi så beregne sådan her:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Disse to løsninger deler grafen for funktionen 2x² − 7x + 3 op i tre intervaller.

• $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[$ i dette interval er værdierne positive (grafen ligger »over« x-aksen, den blå del af grafen)
• $]\frac{1}{2};3[$ i dette interval er værdierne negative (grafen ligger »under« x-aksen, den røde del af grafen)
• ]3; ∞[ i dette interval er værdierne igen positive, den resterende blå del af grafen.

Læg mærke til, at vi i intervallerne bruger kantede parenteser, der vender udad, og som markerer et åbent interval. Det betyder, at tallene 3 og $\frac{1}{2}$ ikke er med i intervallet $]\frac{1}{2};3[$. Det skyldes, at funktionen i punktet x = 3 har værdien nul, og vi ville opskrive det interval, hvor værdierne er mindre end nul.

Nu kender vi alle de nødvendige oplysninger til at bestemme resultatet af uligheden 2x² − 7x + 3 < 0. Vi spørger, hvornår værdierne af funktionen 2x² − 7x + 3 er mindre end nul? De er mindre end nul i intervallet $]\frac{1}{2};3[$, den røde del af grafen.

Vi kan prøve at løse endnu nogle uligheder:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: Denne ulighed adskiller sig fra den foregående ved, at der står ≤ i stedet for blot <. Resultatet bliver det samme som i det foregående tilfælde, men i stedet for et åbent interval bruger vi et lukket interval. Resultatet bliver altså intervallet $[\frac{1}{2};3]$, fordi funktionen 2x² − 7x + 3 i punkterne $\frac{1}{2}$ og 3 har værdien nul, og nu leder vi efter, hvornår denne funktion er mindre end eller lig med nul. Glem ikke, at der i uligheden står tegnet ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: Resultatet bliver de »blå dele« af funktionens graf. De resulterende intervaller skal vi forene, fordi funktionen er positiv både i intervallet $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[$ og i intervallet ]3; ∞[. Den resulterende mængde har formen $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[\cup ]3;\mathrm{\infty }[$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: Igen har vi bare ændret > til ≥. Resultatet bliver derfor den samme mængde, men nu tager vi også elementerne $\frac{1}{2}$ og 3 med, hvilket vi gør med et lukket interval: $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}]\cup [3;\mathrm{\infty }[$.

Negativ koefficient a

Hvad ville der ske, hvis vi ændrede den foregående ulighed til −x² + x + 2 < 0? Den største ændring er sket i koefficienten a, som nu er lig med a = −1. I den forrige ulighed havde vi 2x², koefficienten foran x² var positiv, mens den her er negativ. Det bedste er at se på grafen:

Vi ser, at grafen har ændret sig først og fremmest ved, at den ikke længere har form som bogstavet »U«, men form som en bakke. Fremgangsmåden har dog ikke ændret sig. Igen opstår der tre intervaller:

• ]−∞; −1[: Værdierne er negative.
• ]−1; 2[: Værdierne er positive.
• ]2; ∞[: Værdierne er negative.

Resultatet af uligheden −x² + x + 2 < 0 bliver altså foreningen af intervallerne ]−∞; −1[ ∪ ]2; ∞[.

Men jeg gider ikke altid tegne grafer!

Det behøver du heller ikke! Alle de foregående løsninger byggede på, at vi tegnede en graf og af den aflæste skæringspunkterne med x-aksen og derefter også, om værdierne i det givne interval er positive eller negative. Men det kan også gøres på en anden måde.

Hvis vi har andengradsuligheden 3x² − 4x + 1 < 0, kan vi bare løse andengradsligningen 3x² − 4x + 1 = 0 på de klassiske måder. Vi beregner altså diskriminanten:

$$d=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Derefter beregner vi andengradsligningens løsninger:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{d}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Vi ved, at grafen skærer x-aksen i punkterne $x_1=\frac{1}{3}$ og x₂ = 1. Der opstår tre intervaller: $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}[$, $]\frac{1}{3};1[$, ]1; ∞[. Spørgsmålet er, hvordan vi finder ud af, om funktionen f(x) = 3x² − 4x + 1 har positive eller negative værdier i det givne interval.

Det finder vi ud af ved hver gang at indsætte et tal fra det givne interval i funktionen f(x) = 3x² − 4x + 1. Hvis funktionens resultat er positivt, er funktionen positiv i hele intervallet. Det samme gælder for negative værdier.

• Vi vælger et vilkårligt tal fra intervallet $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}[$, for eksempel nul, det er nemt at regne med. Vi indsætter nul i funktionen f: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Tallet 1 er positivt, så i dette interval er værdierne positive.

• Vi vælger et tal fra intervallet $]\frac{1}{3};1[$: Det bedste er nok en halv:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Tallet $-\frac{1}{4}$ er negativt, så i dette interval er alle værdier negative.

• I det sidste interval bliver værdierne de samme som i det første — positive. Det skifter altid: positiv — negativ — positiv eller negativ — positiv — negativ. Men vi kan roligt regne det ud. Vi vælger et tal fra intervallet ]1; ∞[, for eksempel 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Det er et positivt tal, så alle værdier i dette interval er positive.

Nu mangler vi at løse hele uligheden færdig. Den havde formen: 3x² − 4x + 1 < 0. På baggrund af de foregående oplysninger ved vi, at funktionen 3x² − 4x + 1 har negative værdier i intervallet $]\frac{1}{3};1[$. Blot til kontrol kan vi se på grafen:

Diskriminant på nul

Når vi løser en andengradsligning, kan vi få en diskriminant på nul. Det sker, når grafen for funktionen rører x-aksen i ét punkt. Vi viser det på uligheden 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Diskriminanten er lig med nul:

$$d=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Grafen ville se sådan her ud:

Som man kan se, rører grafen x-aksen i ét eneste punkt x₁ = −1, og resten af grafen ligger over x-aksen i positive værdier. Det betyder, at løsningen til uligheden 3x² + 6x + 3 ≥ 0 er hele mængden af reelle tal, fordi uanset hvilket reelt tal vi indsætter for x, bliver værdien altid større end eller lig med nul.

Negativ diskriminant

Hvis vi får en negativ diskriminant, betyder det, at grafen aldrig skærer x-aksen. Hvordan kommer det til udtryk i vores uligheder? Ved at grafen enten ligger helt over x-aksen eller helt under x-aksen. Hvis vi omformede den foregående ulighed sådan her: 3x² + 6x + 4 > 0 (vi har ændret tegnet fra ≥ til > og ændret tallet tre til fire), ville diskriminanten blive:

$$d=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

og grafen ville se sådan her ud:

Grafen ligger helt over x-aksen: Uanset hvilket reelt tal vi indsætter for x, bliver den resulterende værdi altid positiv. Løsningen til uligheden er altså igen mængden af reelle tal.