Inecuația de gradul al doilea

Inecuația de gradul al doilea o putem scrie în forma generală astfel: ax² + bx + c > 0 sau ax² + bx + c < 0, unde a, b, c sunt numere reale oarecare, a ≠ 0. În loc de „mai mare decât” și „mai mic decât” putem folosi, bineînțeles, „mai mare sau egal” și „mai mic sau egal”.

Coeficientul a pozitiv

O astfel de inecuație se rezolvă asemănător cu o ecuație de gradul al doilea obișnuită: calculăm mai întâi discriminantul și din rezultat putem deduce procedeul următor. Dacă discriminantul este pozitiv, ecuația asociată are două soluții reale. Soluția ecuației este abscisa unui punct în care graficul funcției ax² + bx + c intersectează axa Ox. Aceste două puncte de intersecție împart astfel axa Ox în trei intervale.

Putem încerca să rezolvăm inecuația 2x² − 7x + 3 < 0. Desenăm graficul funcției 2x² − 7x + 3, care arată astfel:

Vedem că graficul intersectează axa Ox în două puncte: $x_1=\frac{1}{2}$ și x₂ = 3. Dacă am rezolva o ecuație de gradul al doilea obișnuită, am obține aceeași soluție, pentru că discriminantul acestei ecuații este

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Soluțiile le-am calcula apoi astfel:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Aceste două soluții împart graficul funcției 2x² − 7x + 3 în trei intervale.

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$ în acest interval valorile sunt pozitive (graficul este „deasupra” axei Ox, partea albastră a graficului)
• $(\frac{1}{2},3)$ în acest interval valorile sunt negative (graficul este „sub” axa Ox, partea roșie a graficului)
• (3, +∞) în acest interval valorile sunt din nou pozitive, restul părții albastre a graficului.

Observă că în intervale folosim paranteze rotunde, care indică un interval deschis. Asta înseamnă că numerele 3 și $\frac{1}{2}$ nu fac parte din intervalul $(\frac{1}{2},3)$. Motivul este că în punctul x = 3 funcția are valoarea zero, iar noi am vrut să scriem intervalul în care valorile sunt mai mici decât zero.

Acum avem toate informațiile necesare pentru a determina rezultatul inecuației 2x² − 7x + 3 < 0. Ne întrebăm: când sunt valorile funcției 2x² − 7x + 3 mai mici decât zero? Sunt mai mici decât zero în intervalul $(\frac{1}{2},3)$, partea roșie a graficului.

Putem încerca să rezolvăm și aceste inecuații:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: această inecuație se deosebește de cea precedentă prin faptul că are ≤ în loc de simplul <. Rezultatul va fi același ca în cazul precedent, doar că în loc de interval deschis folosim interval închis. Rezultatul va fi deci intervalul $[\frac{1}{2},3]$, pentru că în punctele $\frac{1}{2}$ și 3 funcția 2x² − 7x + 3 are valoarea zero, iar noi căutăm acum când este această funcție mai mică sau egală cu zero. Nu uita, în inecuație apare semnul ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: rezultatul vor fi „părțile albastre” ale graficului funcției. Intervalele rezultate trebuie reunite, pentru că funcția este pozitivă atât în intervalul $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$, cât și în intervalul (3, +∞). Mulțimea rezultată are forma $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (3,+\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: din nou am schimbat doar > în ≥. Rezultatul va fi deci aceeași mulțime, doar că includem și elementele $\frac{1}{2}$ și 3, ceea ce facem cu interval închis: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,+\mathrm{\infty })$.

Coeficientul a negativ

Ce s-ar întâmpla dacă am schimba inecuația precedentă în −x² + x + 2 < 0? Schimbarea principală a avut loc la coeficientul a, care acum este egal cu a = −1. În inecuația precedentă aveam 2x², coeficientul lui x² era pozitiv, în timp ce aici este negativ. Cel mai bine este să ne uităm la grafic:

Vedem că graficul s-a schimbat în principal prin faptul că nu mai are forma literei „U”, ci forma unui deal. Dar procedeul nu s-a schimbat cu nimic. Apar din nou trei intervale:

• (−∞, −1): valorile sunt negative.
• (−1, 2): valorile sunt pozitive.
• (2, +∞): valorile sunt negative.

Rezultatul inecuației −x² + x + 2 < 0 va fi deci reuniunea intervalelor (−∞, −1) ∪ (2, +∞).

Dar eu nu vreau să desenez mereu grafice!

Nu e nevoie! Toate rezolvările de până acum s-au bazat pe faptul că am desenat graficul și din el am citit punctele de intersecție cu axa Ox și apoi și dacă, într-un interval dat, valorile sunt pozitive sau negative. Se poate și altfel.

Dacă avem inecuația de gradul al doilea 3x² − 4x + 1 < 0, putem pur și simplu rezolva ecuația de gradul al doilea 3x² − 4x + 1 = 0 prin metodele clasice. Calculăm deci discriminantul:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Apoi calculăm soluțiile ecuației de gradul al doilea:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Știm că graficul intersectează axa Ox în punctele $x_1=\frac{1}{3}$ și x₂ = 1. Apar trei intervale: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},1)$, (1,+∞). Întrebarea este cum aflăm dacă funcția f(x) = 3x² − 4x + 1 are într-un interval dat valori pozitive sau negative.

Aflăm asta înlocuind în funcția f(x) = 3x² − 4x + 1 de fiecare dată un număr din intervalul dat. Dacă valoarea funcției este pozitivă, funcția este pozitivă pe întreg intervalul. La fel pentru valorile negative.

• Alegem un număr oarecare din intervalul $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, de exemplu zero, cu el se calculează ușor. Calculăm valoarea funcției f în zero: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Numărul 1 este pozitiv, deci în acest interval valorile sunt pozitive.

• Alegem un număr din intervalul $(\frac{1}{3},1)$: cel mai bine este probabil o jumătate:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Numărul $-\frac{1}{4}$ este negativ, deci în acest interval toate valorile sunt negative.

• În ultimul interval vor fi aceleași valori ca în primul – pozitive. Semnele alternează mereu: pozitiv – negativ – pozitiv sau negativ – pozitiv – negativ. Dar putem foarte bine să verificăm prin calcul. Alegem un număr din intervalul (1,+∞), de exemplu 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Acesta este un număr pozitiv, deci toate valorile din acest interval sunt pozitive.

Rămâne să încheiem rezolvarea întregii inecuații. Aceasta avea forma: 3x² − 4x + 1 < 0. Pe baza informațiilor de mai sus știm că funcția 3x² − 4x + 1 are valori negative în intervalul $(\frac{1}{3},1)$. Doar pentru verificare ne putem uita la grafic:

Discriminant nul

La rezolvarea ecuației de gradul al doilea ne poate ieși discriminantul nul. Acesta iese atunci când graficul funcției atinge axa Ox într-un singur punct. Arătăm asta pe inecuația 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Discriminantul este egal cu zero:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Graficul ar arăta astfel:

După cum se vede, graficul atinge axa Ox într-un singur punct x₁ = −1, iar restul graficului este deasupra axei Ox, în valori pozitive. Asta înseamnă că soluția inecuației 3x² + 6x + 3 ≥ 0 este întreaga mulțime a numerelor reale, pentru că oricare număr real am înlocui în loc de x, valoarea va fi întotdeauna mai mare sau egală cu zero.

Discriminant negativ

Dacă ne iese discriminantul negativ, înseamnă că graficul nu intersectează niciodată axa Ox. Cum se reflectă asta în inecuațiile noastre? Astfel: graficul este fie în întregime deasupra axei Ox, fie în întregime sub axa Ox. Dacă am modifica inecuația precedentă astfel: 3x² + 6x + 4 > 0 (am schimbat semnul din ≥ în > și am schimbat numărul trei în patru), discriminantul ar ieși:

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

iar graficul ar arăta astfel:

Graficul este în întregime deasupra axei Ox, oricare număr real am înlocui în loc de x, valoarea rezultată va fi întotdeauna pozitivă. Soluția inecuației este deci din nou mulțimea numerelor reale.