Másodfokú egyenlőtlenségek

A másodfokú egyenlőtlenséget általános alakban így írhatjuk fel: ax² + bx + c > 0, illetve ax² + bx + c < 0, ahol a, b, c tetszőleges valós számok, a ≠ 0. A „nagyobb mint” és a „kisebb mint” helyett természetesen állhat „nagyobb vagy egyenlő” és „kisebb vagy egyenlő” is.

Pozitív a együttható

Az ilyen egyenlőtlenséget hasonlóan oldjuk meg, mint a közönséges másodfokú egyenletet: először kiszámítjuk a diszkriminánst, és az eredményből következik a további menet. Ha a diszkrimináns pozitív, a hozzá tartozó egyenletnek két valós gyöke van. Az egyenlet gyöke az x tengelynek az a pontja, ahol az ax² + bx + c függvény grafikonja metszi az x tengelyt. Ez a két metszéspont tehát három részre osztja az x tengelyt.

Próbáljuk megoldani a 2x² − 7x + 3 < 0 egyenlőtlenséget. Lerajzoljuk a 2x² − 7x + 3 függvény grafikonját, ami így néz ki:

Látjuk, hogy a grafikon két pontban metszi az x tengelyt: $x_1=\frac{1}{2}$ és x₂ = 3. Ha megoldanánk a közönséges másodfokú egyenletet, ugyanezt az eredményt kapnánk, mert ennek az egyenletnek a diszkriminánsa

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

A gyököket pedig így számítanánk ki:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Ez a két gyök három intervallumra osztja a 2x² − 7x + 3 függvény grafikonját.

• $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[$ ebben az intervallumban az értékek pozitívak (a grafikon az x tengely „felett” van, a grafikon kék része)
• $]\frac{1}{2};3[$ ebben az intervallumban az értékek negatívak (a grafikon az x tengely „alatt” van, a grafikon piros része)
• ]3; +∞[ ebben az intervallumban az értékek ismét pozitívak, a grafikon megmaradó kék része.

Figyeld meg, hogy az intervallumoknál fordított szögletes zárójelet használunk, ez jelöli a nyílt intervallumot. Ez azt jelenti, hogy sem a 3, sem az $\frac{1}{2}$ nem tartozik a $]\frac{1}{2};3[$ intervallumhoz. Ennek az az oka, hogy az x = 3 pontban a függvény értéke nulla, mi pedig olyan intervallumot akartunk felírni, amelyben az értékek kisebbek nullánál.

Most már minden szükséges információ megvan ahhoz, hogy meghatározzuk a 2x² − 7x + 3 < 0 egyenlőtlenség megoldását. Azt kérdezzük: mikor kisebbek nullánál a 2x² − 7x + 3 függvény értékei? Kisebbek nullánál a $]\frac{1}{2};3[$ intervallumban, vagyis a grafikon piros részén.

Megoldhatjuk még a következő egyenlőtlenségeket is:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: ez az egyenlőtlenség onnan különbözik az előzőtől, hogy a puszta < helyett ≤ áll benne. Az eredmény ugyanaz lesz, mint az előző esetben, csak nyílt intervallum helyett zárt intervallumot használunk. Az eredmény tehát a $[\frac{1}{2};3]$ intervallum, mert az $\frac{1}{2}$ és a 3 pontban a 2x² − 7x + 3 függvény értéke nulla, és most azt keressük, mikor kisebb vagy egyenlő nullával. Ne felejtsd el, hogy az egyenlőtlenségben a ≤ jel áll.

• 2x² − 7x +3 > 0: az eredmény a függvény grafikonjának „kék részei” lesznek. Az így kapott intervallumokat egyesíteni kell, mert a függvény pozitív a $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[$ intervallumban is, és a ]3; +∞[ intervallumban is. Az eredményül kapott halmaz alakja $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}[\cup ]3;+\mathrm{\infty }[$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: itt megint csak a > jelet cseréltük ≥ jelre. Az eredmény tehát ugyanaz a halmaz lesz, csak az $\frac{1}{2}$ és a 3 elemet is hozzávesszük, amit zárt intervallummal érünk el: $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}]\cup [3;+\mathrm{\infty }[$.

Negatív a együttható

Mi történne, ha az előző egyenlőtlenséget −x² + x + 2 < 0 alakúra változtatnánk? A fő változás az a együtthatóban történt, amely most a = −1. Az előző egyenlőtlenségben 2x² szerepelt, az x² együtthatója pozitív volt, itt viszont negatív. Legjobb, ha megnézzük a grafikont:

Látjuk, hogy a grafikon főleg abban változott meg, hogy már nem „U” alakú, hanem domb alakú. Az eljáráson viszont semmi sem változott. Ismét három intervallum keletkezik:

• ]−∞; −1[: az értékek negatívak.
• ]−1; 2[: az értékek pozitívak.
• ]2; +∞[: az értékek negatívak.

A −x² + x + 2 < 0 egyenlőtlenség megoldása tehát az intervallumok uniója: ]−∞; −1[ ∪ ]2; +∞[.

De nem akarok mindig grafikont rajzolgatni!

Nem is kell! Az eddigi megoldások mind azon alapultak, hogy lerajzoltuk a grafikont, abból kiolvastuk az x tengellyel alkotott metszéspontokat, majd azt is, hogy az adott intervallumban az értékek pozitívak vagy negatívak. De megy másképp is.

Ha adott a 3x² − 4x + 1 < 0 másodfokú egyenlőtlenség, egyszerűen megoldhatjuk a 3x² − 4x + 1 = 0 másodfokú egyenletet a szokásos módon. Kiszámítjuk a diszkriminánst:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Ezután kiszámítjuk a másodfokú egyenlet gyökeit:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Tudjuk, hogy a grafikon az $x_1=\frac{1}{3}$ és az x₂ = 1 pontban metszi az x tengelyt. Három intervallum keletkezik: $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}[$, $]\frac{1}{3};1[$, ]1; +∞[. A kérdés az, hogyan állapítsuk meg, hogy az f(x) = 3x² − 4x + 1 függvény az adott intervallumban pozitív vagy negatív értékeket vesz fel.

Úgy, hogy az f(x) = 3x² − 4x + 1 függvénybe mindig behelyettesítünk egy tetszőleges számot az adott intervallumból. Ha a függvényérték pozitív, akkor a függvény az egész intervallumon pozitív. Negatív értékekre ugyanez érvényes.

• Kiválasztunk egy tetszőleges számot a $]-\mathrm{\infty };\frac{1}{3}[$ intervallumból, például a nullát, azzal jól lehet számolni. A nullával meghívjuk az f függvényt: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Az 1 pozitív szám, ebben az intervallumban tehát pozitív értékeket kapunk.

• Kiválasztunk egy számot a $]\frac{1}{3};1[$ intervallumból: a legjobb talán az egyketted:

  $$f\left(\frac{1}{2}\right)=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  A $-\frac{1}{4}$ negatív szám, ezért ebben az intervallumban minden érték negatív.

• Az utolsó intervallumban ugyanazok lesznek az értékek, mint az elsőben – pozitívak. Mindig váltakoznak: pozitív – negatív – pozitív, vagy negatív – pozitív – negatív. De akár ki is számíthatjuk. Választunk egy számot a ]1; +∞[ intervallumból, például a 10-et:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Ez pozitív szám, tehát ebben az intervallumban minden érték pozitív.

Már csak a teljes egyenlőtlenséget kell befejeznünk. Az egyenlőtlenség alakja: 3x² − 4x + 1 < 0. Az előző információk alapján tudjuk, hogy a 3x² − 4x + 1 függvény a $]\frac{1}{3};1[$ intervallumban vesz fel negatív értékeket. Csak az ellenőrzés kedvéért megnézhetjük a grafikont:

Nulla diszkrimináns

A másodfokú egyenlet megoldásakor nulla diszkrimináns is kijöhet. Ez akkor áll elő, amikor a függvény grafikonja egyetlen pontban érinti az x tengelyt. Mutassuk meg a 3x² + 6x + 3 ≥ 0 egyenlőtlenségen. A diszkrimináns nulla:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

A grafikon így nézne ki:

Amint látható, a grafikon egyetlen pontban, az x₁ = −1 pontban érinti az x tengelyt, a grafikon többi része az x tengely felett, pozitív értékekkel halad. Ez azt jelenti, hogy a 3x² + 6x + 3 ≥ 0 egyenlőtlenség megoldása a valós számok teljes halmaza, mert bármilyen valós számot helyettesítünk x helyére, az érték mindig nagyobb vagy egyenlő lesz nullánál.

Negatív diszkrimináns

Ha a diszkrimináns negatív, az azt jelenti, hogy a grafikon soha nem metszi az x tengelyt. Ez az egyenlőtlenségeinkben úgy jelenik meg, hogy a grafikon vagy teljes egészében az x tengely felett, vagy teljes egészében az x tengely alatt van. Ha az előző egyenlőtlenséget így módosítanánk: 3x² + 6x + 4 > 0 (a ≥ jelet > jelre, a hármat pedig négyre cseréltük), a diszkrimináns így jönne ki:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

a grafikon pedig így nézne ki:

A grafikon teljes egészében az x tengely felett van, bármilyen valós számot helyettesítünk x helyére, az érték mindig pozitív lesz. Az egyenlőtlenség megoldása tehát ismét a valós számok halmaza.