Andregradsulikheter

Vi kan skrive en andregradsulikhet på den generelle formen ax² + bx + c > 0 eller ax² + bx + c < 0, der a, b, c er vilkårlige reelle tall, a ≠ 0. I stedet for «større enn» og «mindre enn» kan vi selvfølgelig bruke «større enn eller lik» og «mindre enn eller lik».

Positiv koeffisient a

En slik ulikhet løses på samme måte som en vanlig andregradslikning: Først regner vi ut diskriminanten, og ut fra resultatet kan vi avgjøre den videre framgangsmåten. Hvis diskriminanten er positiv, har den tilhørende likningen to reelle løsninger. Løsningen av likningen er et punkt på x-aksen der grafen til funksjonen ax² + bx + c skjærer x-aksen. Disse to skjæringspunktene deler altså x-aksen i tre intervaller.

La oss prøve å løse ulikheten 2x² − 7x + 3 < 0. Vi tegner grafen til funksjonen 2x² − 7x + 3, og den ser slik ut:

Vi ser at grafen skjærer x-aksen i to punkter: $x_1=\frac{1}{2}$ og x₂ = 3. Hvis vi regnet ut den vanlige andregradslikningen, ville vi fått den samme løsningen, fordi diskriminanten til denne likningen er

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Løsningene ville vi da regnet ut slik:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Disse to løsningene deler grafen til funksjonen 2x² − 7x + 3 i tre intervaller.

• $⟨\leftarrow ,\frac{1}{2}⟩$ i dette intervallet er verdiene positive (grafen er «over» x-aksen, den blå delen av grafen)
• $⟨\frac{1}{2},3⟩$ i dette intervallet er verdiene negative (grafen er «under» x-aksen, den røde delen av grafen)
• ⟨3, → ⟩ i dette intervallet er verdiene igjen positive, den resterende blå delen av grafen.

Legg merke til at vi i intervallene bruker vinkelparenteser, som betyr åpent intervall. Det betyr at verken tallet 3 eller $\frac{1}{2}$ er med i intervallet $⟨\frac{1}{2},3⟩$. Det er fordi funksjonen har verdien null i punktet x = 3, og vi ville skrive opp intervallet der verdiene er mindre enn null.

Nå kjenner vi all informasjonen vi trenger for å bestemme løsningen av ulikheten 2x² − 7x + 3 < 0. Vi spør: Når er verdiene til funksjonen 2x² − 7x + 3 mindre enn null? De er mindre enn null i intervallet $⟨\frac{1}{2},3⟩$, den røde delen av grafen.

Vi kan prøve å løse også disse ulikhetene:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: Denne ulikheten skiller seg fra den forrige ved at det står ≤ i stedet for bare <. Resultatet blir det samme som i det forrige tilfellet, bare at vi i stedet for åpent intervall bruker lukket intervall. Resultatet blir altså intervallet $[\frac{1}{2},3]$, fordi funksjonen 2x² − 7x + 3 har verdien null i punktene $\frac{1}{2}$ og 3, og vi leter nå etter når denne funksjonen er mindre enn eller lik null. Ikke glem at det står tegnet ≤ i ulikheten.

• 2x² − 7x +3 > 0: Resultatet blir de «blå delene» av grafen til funksjonen. De resulterende intervallene må vi ta unionen av, fordi funksjonen er positiv både i intervallet $⟨\leftarrow ,\frac{1}{2}⟩$ og i intervallet ⟨3, → ⟩. Den resulterende mengden har formen $⟨\leftarrow ,\frac{1}{2}⟩\cup ⟨3,\to ⟩$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: Igjen har vi bare endret > til ≥. Resultatet blir dermed den samme mengden, bare at vi tar med elementene $\frac{1}{2}$ og 3, noe vi gjør med lukkede intervaller: $⟨\leftarrow ,\frac{1}{2}]\cup [3,\to ⟩$.

Negativ koeffisient a

Hva ville skjedd hvis vi endret den forrige ulikheten til −x² + x + 2 < 0? Hovedendringen har skjedd i koeffisienten a, som nå er a = −1. I den forrige ulikheten hadde vi 2x², koeffisienten foran x² var positiv, mens den her er negativ. Det beste er å se på grafen:

Vi ser at grafen først og fremst har endret seg slik at den ikke lenger har formen til bokstaven «U», men har form som en bakketopp. Men framgangsmåten har ikke endret seg. Igjen oppstår tre intervaller:

• ⟨ ← , −1⟩: verdiene er negative.
• ⟨ − 1, 2⟩: verdiene er positive.
• ⟨2, → ⟩: verdiene er negative.

Løsningen av ulikheten −x² + x + 2 < 0 blir dermed unionen av intervallene ⟨ ← , −1⟩ ∪ ⟨2, → ⟩.

Men jeg vil ikke tegne grafer hele tiden!

Det trenger du ikke! Alle de foregående løsningene bygde på at vi tegnet en graf og leste av skjæringspunktene med x-aksen og deretter om verdiene i det aktuelle intervallet er positive eller negative. Men det går også på en annen måte.

Hvis vi har andregradsulikheten 3x² − 4x + 1 < 0, kan vi bare løse andregradslikningen 3x² − 4x + 1 = 0 på de klassiske måtene. Vi regner ut diskriminanten:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Videre regner vi ut løsningene av andregradslikningen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Vi vet at grafen skjærer x-aksen i punktene $x_1=\frac{1}{3}$ og x₂ = 1. Vi får tre intervaller: $⟨\leftarrow ,\frac{1}{3}⟩$, $⟨\frac{1}{3},1⟩$, ⟨1, → ⟩. Spørsmålet er hvordan vi finner ut om funksjonen f(x) = 3x² − 4x + 1 har positive eller negative verdier i det aktuelle intervallet.

Det finner vi ut ved alltid å sette inn et tall fra det aktuelle intervallet i funksjonen f(x) = 3x² − 4x + 1. Hvis resultatet av funksjonen er positivt, er funksjonen positiv i hele intervallet. Det samme gjelder for negative verdier.

• Vi velger et vilkårlig tall fra intervallet $⟨\leftarrow ,\frac{1}{3}⟩$, for eksempel null, det er lett å regne med. Med null regner vi ut funksjonen f: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Tallet 1 er positivt, så i dette intervallet er verdiene positive.

• Vi velger et tall fra intervallet $⟨\frac{1}{3},1⟩$: Det beste er kanskje en halv:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Tallet $-\frac{1}{4}$ er negativt, så i dette intervallet er alle verdiene negative.

• I det siste intervallet blir verdiene de samme som i det første — positive. Det veksler alltid: positiv — negativ — positiv eller negativ — positiv — negativ. Men vi kan gjerne regne det ut. Vi velger et tall fra intervallet ⟨1, → ⟩, for eksempel 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Det er et positivt tall, så alle verdiene i dette intervallet er positive.

Det gjenstår å løse hele ulikheten. Den hadde formen 3x² − 4x + 1 < 0. På grunnlag av den forrige informasjonen vet vi at funksjonen 3x² − 4x + 1 har negative verdier i intervallet $⟨\frac{1}{3},1⟩$. Bare for kontrollens skyld kan vi se på grafen:

Diskriminant lik null

Når vi løser en andregradslikning, kan vi få diskriminant lik null. Det skjer når grafen til funksjonen berører x-aksen i ett punkt. Vi viser det med ulikheten 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Diskriminanten er lik null:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Grafen ville sett slik ut:

Som du ser, berører grafen x-aksen i ett eneste punkt x₁ = −1, og resten av grafen ligger over x-aksen med positive verdier. Det betyr at løsningen av ulikheten 3x² + 6x + 3 ≥ 0 er hele mengden av reelle tall, for uansett hvilket reelt tall vi setter inn for x, blir verdien alltid større enn eller lik null.

Negativ diskriminant

Hvis vi får negativ diskriminant, betyr det at grafen aldri skjærer x-aksen. Hvordan viser det seg i ulikhetene våre? Ved at grafen enten ligger helt over x-aksen eller helt under x-aksen. Hvis vi endret den forrige ulikheten slik: 3x² + 6x + 4 > 0 (vi endret tegnet fra ≥ til > og endret tallet tre til fire), ville diskriminanten blitt:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

og grafen ville sett slik ut:

Grafen ligger helt og holdent over x-aksen, uansett hvilket reelt tall vi setter inn for x, blir den resulterende verdien alltid positiv. Løsningen av ulikheten er dermed igjen mengden av reelle tall.