Toisen asteen epäyhtälö

Toisen asteen epäyhtälö voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa ax² + bx + c > 0 tai ax² + bx + c < 0, missä a, b, c ovat mielivaltaisia reaalilukuja ja a ≠ 0. Merkkien ”suurempi kuin” ja ”pienempi kuin” tilalla voidaan tietysti käyttää myös merkkejä ”suurempi tai yhtä suuri kuin” ja ”pienempi tai yhtä suuri kuin”.

Positiivinen kerroin a

Tällainen epäyhtälö ratkaistaan samaan tapaan kuin tavallinen toisen asteen yhtälö: lasketaan ensin diskriminantti, ja tuloksesta voidaan päätellä, miten jatketaan. Jos diskriminantti on positiivinen, vastaavalla yhtälöllä on kaksi reaalijuurta. Yhtälön juuri on x-akselin piste, jossa funktion ax² + bx + c kuvaaja leikkaa x-akselin. Nämä kaksi leikkauspistettä jakavat x-akselin kolmeen väliin.

Yritetään ratkaista epäyhtälö 2x² − 7x + 3 < 0. Piirretään funktion 2x² − 7x + 3 kuvaaja, joka näyttää tältä:

Nähdään, että kuvaaja leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä: $x_1=\frac{1}{2}$ ja x₂ = 3. Jos laskettaisiin tavallinen toisen asteen yhtälö, saataisiin sama ratkaisu, koska tämän yhtälön diskriminantti on

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Juuret laskettaisiin näin:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Nämä kaksi juurta jakavat funktion 2x² − 7x + 3 kuvaajan kolmeen väliin.

• $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[$ tällä välillä arvot ovat positiivisia (kuvaaja on x-akselin ”yläpuolella”, kuvaajan sininen osa)
• $]\frac{1}{2},3[$ tällä välillä arvot ovat negatiivisia (kuvaaja on x-akselin ”alapuolella”, kuvaajan punainen osa)
• ]3, ∞[ tällä välillä arvot ovat taas positiivisia, kuvaajan jäljellä oleva sininen osa.

Huomaa, että väleissä käytetään ulospäin käännettyjä hakasulkeita, jotka tarkoittavat avointa väliä. Se tarkoittaa, että luvut 3 ja $\frac{1}{2}$ eivät kuulu väliin $]\frac{1}{2},3[$. Syynä on, että pisteessä x = 3 funktion arvo on nolla, ja haluttiin kirjoittaa väli, jolla arvot ovat pienempiä kuin nolla.

Nyt tiedetään kaikki, mitä tarvitaan epäyhtälön 2x² − 7x + 3 < 0 ratkaisemiseen. Kysytään, milloin funktion 2x² − 7x + 3 arvot ovat pienempiä kuin nolla. Ne ovat pienempiä kuin nolla välillä $]\frac{1}{2},3[$, eli kuvaajan punaisella osalla.

Voidaan ratkaista vielä nämä epäyhtälöt:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: tämä epäyhtälö eroaa edellisestä siinä, että siinä on ≤ pelkän <:n sijaan. Ratkaisu on sama kuin edellisessä tapauksessa, mutta avoimen välin sijaan käytetään suljettua väliä. Ratkaisuksi tulee siis väli $[\frac{1}{2},3]$, koska pisteissä $\frac{1}{2}$ ja 3 funktion 2x² − 7x + 3 arvo on nolla, ja nyt etsitään, milloin tämä funktio on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla. Älä unohda, että epäyhtälössä on merkki ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: ratkaisuna ovat funktion kuvaajan ”siniset osat”. Syntyvät välit täytyy yhdistää, koska funktio on positiivinen sekä välillä $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[$ että välillä ]3, ∞[. Tuloksena oleva joukko on $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[\cup ]3,\mathrm{\infty }[$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: tässäkin merkki > vaihdettiin merkiksi ≥. Ratkaisuna on siis sama joukko, johon otetaan lisäksi mukaan alkiot $\frac{1}{2}$ ja 3, mikä tehdään suljetulla välillä: $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,\mathrm{\infty }[$.

Negatiivinen kerroin a

Mitä tapahtuisi, jos edellinen epäyhtälö muutettaisiin muotoon −x² + x + 2 < 0? Suurin muutos on kertoimessa a, joka on nyt a = −1. Edellisessä epäyhtälössä oli 2x², eli kerroin x²:n edessä oli positiivinen, mutta tässä se on negatiivinen. Parasta on katsoa kuvaajaa:

Nähdään, että kuvaaja on muuttunut ennen kaikkea niin, ettei se ole enää U-kirjaimen muotoinen vaan kukkulan muotoinen. Ratkaisutapa ei kuitenkaan ole muuttunut. Syntyy taas kolme väliä:

• ]−∞, −1[: arvot ovat negatiivisia.
• ]−1, 2[: arvot ovat positiivisia.
• ]2, ∞[: arvot ovat negatiivisia.

Epäyhtälön −x² + x + 2 < 0 ratkaisu on siis välien yhdiste ]−∞, −1[ ∪ ]2, ∞[.

Mutta en halua piirtää kuvaajia koko ajan!

Ei tarvitse! Kaikki edelliset ratkaisut perustuivat siihen, että piirrettiin kuvaaja ja luettiin siitä x-akselin leikkauspisteet ja sen jälkeen myös se, ovatko arvot kullakin välillä positiivisia vai negatiivisia. Asian voi kuitenkin tehdä myös toisin.

Jos toisen asteen epäyhtälö on 3x² − 4x + 1 < 0, voidaan vain ratkaista toisen asteen yhtälö 3x² − 4x + 1 = 0 tavallisilla tavoilla. Lasketaan siis diskriminantti:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Seuraavaksi lasketaan toisen asteen yhtälön juuret:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Tiedetään, että kuvaaja leikkaa x-akselin pisteissä $x_1=\frac{1}{3}$ ja x₂ = 1. Syntyy kolme väliä: $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{3}[$, $]\frac{1}{3},1[$, ]1, ∞[. Kysymys on, miten selvitetään, onko funktion f(x) = 3x² − 4x + 1 arvo kyseisellä välillä positiivinen vai negatiivinen.

Se selvitetään sijoittamalla funktioon f(x) = 3x² − 4x + 1 aina jokin luku kyseiseltä väliltä. Jos funktion arvo on positiivinen, funktio on positiivinen koko välillä. Sama pätee negatiivisille arvoille.

• Valitaan mikä tahansa luku väliltä $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{3}[$, esimerkiksi nolla, jolla on helppo laskea. Lasketaan funktion f arvo nollassa: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Luku 1 on positiivinen, joten tällä välillä arvot ovat positiivisia.

• Valitaan luku väliltä $]\frac{1}{3},1[$: paras valinta on varmaan yksi puolikas:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Luku $-\frac{1}{4}$ on negatiivinen, joten tällä välillä kaikki arvot ovat negatiivisia.

• Viimeisellä välillä arvot ovat samanlaisia kuin ensimmäisellä – positiivisia. Merkit vaihtelevat aina: positiivinen – negatiivinen – positiivinen tai negatiivinen – positiivinen – negatiivinen. Voidaan kuitenkin aivan hyvin laskea sekin. Valitaan luku väliltä ]1, ∞[, esimerkiksi 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Tämä on positiivinen luku, joten kaikki arvot tällä välillä ovat positiivisia.

Jäljellä on koko epäyhtälön ratkaiseminen. Se oli muotoa 3x² − 4x + 1 < 0. Edellisten tietojen perusteella tiedetään, että funktiolla 3x² − 4x + 1 on negatiivisia arvoja välillä $]\frac{1}{3},1[$. Tarkistukseksi voidaan katsoa vielä kuvaajaa:

Diskriminantti on nolla

Toisen asteen yhtälöä ratkaistaessa diskriminantiksi voi tulla nolla. Niin käy, kun funktion kuvaaja sivuaa x-akselia yhdessä pisteessä. Havainnollistetaan sitä epäyhtälöllä 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Diskriminantti on nolla:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Kuvaaja näyttäisi tältä:

Kuten nähdään, kuvaaja sivuaa x-akselia vain yhdessä pisteessä x₁ = −1, ja loppu kuvaajasta on x-akselin yläpuolella, eli arvot ovat positiivisia. Tämä tarkoittaa, että epäyhtälön 3x² + 6x + 3 ≥ 0 ratkaisu on koko reaalilukujen joukko, koska mikä tahansa reaaliluku x:n paikalle sijoitetaankin, arvo on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla.

Diskriminantti on negatiivinen

Jos diskriminantiksi tulee negatiivinen luku, kuvaaja ei koskaan leikkaa x-akselia. Miten se näkyy näissä epäyhtälöissä? Niin, että kuvaaja on joko kokonaan x-akselin yläpuolella tai kokonaan x-akselin alapuolella. Jos edellistä epäyhtälöä muutettaisiin näin: 3x² + 6x + 4 > 0 (merkki vaihdettiin merkistä ≥ merkiksi > ja luku kolme vaihdettiin luvuksi neljä), diskriminantiksi tulisi:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

ja kuvaaja näyttäisi tältä:

Kuvaaja on kokonaan x-akselin yläpuolella: mikä tahansa reaaliluku x:n paikalle sijoitetaankin, funktion arvo on aina positiivinen. Epäyhtälön ratkaisu on siis jälleen reaalilukujen joukko.