İkinci Dereceden Eşitsizlik

İkinci dereceden eşitsizliği genel biçimde şöyle yazabiliriz: ax² + bx + c > 0 ya da ax² + bx + c < 0; burada a, b, c keyfi gerçek sayılardır, a ≠ 0. “Büyüktür” ve “küçüktür” yerine elbette “büyük eşittir” veya “küçük eşittir” de kullanabiliriz.

Pozitif a Katsayısı

Böyle bir eşitsizlik, sıradan bir ikinci dereceden denkleme benzer biçimde çözülür: önce diskriminantı hesaplarız ve sonuca göre izleyeceğimiz yolu belirleriz. Diskriminant pozitifse ilgili denklemin iki gerçek kökü vardır. Denklemin kökü, x ekseni üzerinde, ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktadır. Bu iki kesişim noktası x eksenini üç aralığa böler.

2x² − 7x + 3 < 0 eşitsizliğini çözmeyi deneyebiliriz. 2x² − 7x + 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim, şöyle görünür:

Grafiğin x eksenini iki noktada kestiğini görüyoruz: $x_1=\frac{1}{2}$ ve x₂ = 3. Sıradan bir ikinci dereceden denklemi çözseydik aynı çözümü elde ederdik, çünkü bu denklemin diskriminantı

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Kökleri de şöyle hesaplardık:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Bu iki kök, 2x² − 7x + 3 fonksiyonunun grafiğini üç aralığa böler.

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$ bu aralıkta değerler pozitiftir (grafik x ekseninin “üstündedir”, grafiğin mavi kısmı)
• $(\frac{1}{2},3)$ bu aralıkta değerler negatiftir (grafik x ekseninin “altındadır”, grafiğin kırmızı kısmı)
• (3, ∞) bu aralıkta değerler yine pozitiftir, grafiğin kalan mavi kısmı.

Aralıklarda açık aralığı gösteren yuvarlak parantezler kullandığımıza dikkat et. Bu, 3 ve $\frac{1}{2}$ sayılarının $(\frac{1}{2},3)$ aralığına dahil olmadığı anlamına gelir. Çünkü x = 3 noktasında fonksiyonun değeri sıfırdır ve biz değerlerin sıfırdan küçük olduğu aralığı yazmak istemiştik.

Artık 2x² − 7x + 3 < 0 eşitsizliğinin sonucunu belirlemek için gereken tüm bilgilere sahibiz. Şunu soruyoruz: 2x² − 7x + 3 fonksiyonunun değerleri ne zaman sıfırdan küçüktür? $(\frac{1}{2},3)$ aralığında sıfırdan küçüktür, yani grafiğin kırmızı kısmında.

Şu eşitsizlikleri de çözmeyi deneyebiliriz:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: bu eşitsizlik öncekinden yalnızca düz < yerine ≤ olmasıyla ayrılır. Sonuç önceki durumdakiyle aynı olur, yalnızca açık aralık yerine kapalı aralık kullanırız. Sonuç $[\frac{1}{2},3]$ aralığı olur, çünkü $\frac{1}{2}$ ve 3 noktalarında 2x² − 7x + 3 fonksiyonunun değeri sıfırdır ve biz şimdi bu fonksiyonun ne zaman sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğunu arıyoruz. Eşitsizlikte ≤ işareti olduğunu unutma.

• 2x² − 7x +3 > 0: sonuç, fonksiyonun grafiğinin “mavi kısımları” olur. Elde edilen aralıkların birleşimini almalıyız, çünkü fonksiyon hem $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$ aralığında hem de (3, ∞) aralığında pozitiftir. Sonuç kümesi şu biçimdedir: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (3,\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: yine yalnızca > işaretini ≥ ile değiştirdik. Sonuç aynı küme olur, yalnızca içine $\frac{1}{2}$ ve 3 elemanlarını da katarız; bunu kapalı aralıkla yaparız: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,\mathrm{\infty })$.

Negatif a Katsayısı

Önceki eşitsizliği −x² + x + 2 < 0 olarak değiştirseydik ne olurdu? Asıl değişiklik a katsayısında oldu; şimdi a = −1. Önceki eşitsizlikte 2x² vardı, x² teriminin önündeki katsayı pozitifti, burada ise negatif. En iyisi grafiğe bakalım:

Grafiğin esas olarak artık “U” harfi biçiminde olmadığını, tepe biçimini aldığını görüyoruz. Ama yöntemde hiçbir şey değişmedi. Yine üç aralık oluşuyor:

• (−∞, −1): değerler negatiftir.
• (−1, 2): değerler pozitiftir.
• (2, ∞): değerler negatiftir.

−x² + x + 2 < 0 eşitsizliğinin sonucu bu yüzden (−∞, −1) ∪ (2, ∞) aralıklarının birleşimi olur.

Ama Ben Sürekli Grafik Çizmek İstemiyorum!

Gerek yok! Önceki çözümlerin hepsi, grafiği çizip x eksenini kestiği noktaları ve ardından verilen aralıkta değerlerin pozitif mi yoksa negatif mi olduğunu grafikten okumamıza dayanıyordu. Ama başka bir yol da var.

3x² − 4x + 1 < 0 ikinci dereceden eşitsizliği verilmişse, ikinci dereceden denklemi 3x² − 4x + 1 = 0 klasik yöntemlerle çözmemiz yeter. Önce diskriminantı hesaplarız:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Sonra ikinci dereceden denklemin köklerini hesaplarız:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Grafiğin x eksenini $x_1=\frac{1}{3}$ ve x₂ = 1 noktalarında kestiğini biliyoruz. Üç aralık oluşur: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},1)$, (1, ∞). Soru şu: f(x) = 3x² − 4x + 1 fonksiyonunun verilen aralıkta pozitif mi yoksa negatif değerler mi aldığını nasıl anlarız?

Bunu, f(x) = 3x² − 4x + 1 fonksiyonunda her seferinde verilen aralıktan bir sayıyı yerine yazarak anlarız. Fonksiyonun sonucu pozitifse fonksiyon aralığın tamamında pozitiftir. Negatif değerler için de aynısı geçerlidir.

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$ aralığından keyfi bir sayı seçelim, örneğin sıfır; onunla hesap yapmak kolay. Sıfırı f fonksiyonunda yerine yazalım: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. 1 sayısı pozitiftir, yani bu aralıkta değerler pozitiftir.

• $(\frac{1}{3},1)$ aralığından bir sayı seçelim: en iyisi herhalde yarım:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  $-\frac{1}{4}$ sayısı negatiftir, yani bu aralıkta tüm değerler negatiftir.

• Son aralıkta değerler birinciyle aynı olacak, yani pozitif. İşaretler hep dönüşümlü gelir: pozitif — negatif — pozitif ya da negatif — pozitif — negatif. Ama istersek hesaplayarak da bulabiliriz. (1, ∞) aralığından bir sayı seçelim, örneğin 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Bu pozitif bir sayıdır, yani bu aralıktaki tüm değerler pozitiftir.

Eşitsizliğin çözümünü tamamlamak kalıyor. Eşitsizlik 3x² − 4x + 1 < 0 biçimindeydi. Önceki bilgilere dayanarak 3x² − 4x + 1 fonksiyonunun $(\frac{1}{3},1)$ aralığında negatif değerler aldığını biliyoruz. Doğrulamak için grafiğe bakabiliriz:

Diskriminantın Sıfır Olması

İkinci dereceden denklemi çözerken diskriminant sıfır çıkabilir. Bu, fonksiyonun grafiği x eksenine tek bir noktada değdiğinde olur. Bunu 3x² + 6x + 3 ≥ 0 eşitsizliği üzerinde gösterelim. Diskriminant sıfıra eşittir:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Grafik şöyle görünürdü:

Görüldüğü gibi grafik x eksenine yalnızca x₁ = −1 noktasında değiyor ve grafiğin geri kalanı x ekseninin üstünde, pozitif değerlerdedir. Bu, 3x² + 6x + 3 ≥ 0 eşitsizliğinin çözümünün gerçek sayıların tamamı olduğu anlamına gelir; çünkü x yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım değer her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olur.

Diskriminantın Negatif Olması

Diskriminant negatif çıkarsa grafik x eksenini hiçbir zaman kesmez. Bu eşitsizliklerimizde nasıl görünür? Şöyle: grafik ya tamamen x ekseninin üstündedir ya da tamamen x ekseninin altındadır. Önceki eşitsizliği şöyle değiştirseydik: 3x² + 6x + 4 > 0 (işareti ≥ yerine > yaptık ve üç sayısını dörde çevirdik), diskriminant şöyle çıkardı:

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

ve grafik şöyle görünürdü:

Grafiğin tamamı x ekseninin üstündedir; x yerine hangi gerçek sayıyı yazarsak yazalım sonuçta çıkan değer her zaman pozitif olur. Yani çözüm yine gerçek sayılar kümesidir.