Andragradsolikheter

En andragradsolikhet kan vi skriva i allmän form så här: ax² + bx + c > 0 eller ax² + bx + c < 0, där a, b, c är godtyckliga reella tal och a ≠ 0. I stället för ”större än” och ”mindre än” kan vi förstås använda ”större än eller lika med” och ”mindre än eller lika med”.

Positiv koefficient a

En sådan olikhet löser du ungefär som en vanlig andragradsekvation. Först beräknar vi diskriminanten, och utifrån resultatet kan vi härleda hur vi går vidare. Om diskriminanten är positiv har den motsvarande ekvationen två reella lösningar. En lösning till ekvationen är en punkt på x-axeln där grafen till funktionen ax² + bx + c skär x-axeln. De två skärningspunkterna delar alltså upp x-axeln i tre intervall.

Vi kan försöka lösa olikheten 2x² − 7x + 3 < 0. Vi ritar grafen till funktionen 2x² − 7x + 3, och den ser ut så här:

Vi ser att grafen skär x-axeln i två punkter: $x_1=\frac{1}{2}$ och x₂ = 3. Om vi löste den motsvarande vanliga andragradsekvationen skulle vi få samma lösningar, eftersom diskriminanten D för den här ekvationen (uttrycket under rottecknet i lösningsformeln) är

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Lösningarna räknar vi sedan ut så här:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

De här två lösningarna delar upp grafen till funktionen 2x² − 7x + 3 i tre intervall.

• $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[$: i det här intervallet är värdena positiva (grafen ligger ”ovanför” x-axeln, den blå delen av grafen)
• $]\frac{1}{2},3[$: i det här intervallet är värdena negativa (grafen ligger ”under” x-axeln, den röda delen av grafen)
• ]3, +∞[: i det här intervallet är värdena återigen positiva, den återstående blå delen av grafen.

Observera att vi i intervallen använder omvända hakparenteser, som markerar ett öppet intervall. Det betyder att varken talet 3 eller $\frac{1}{2}$ ingår i intervallet $]\frac{1}{2},3[$. Det beror på att funktionen har värdet noll i punkten x = 3, och vi ville ange intervallet där värdena är mindre än noll.

Nu har vi all information som behövs för att bestämma lösningen på olikheten 2x² − 7x + 3 < 0. Vi frågar oss: när är värdena av funktionen 2x² − 7x + 3 mindre än noll? De är mindre än noll i intervallet $]\frac{1}{2},3[$, den röda delen av grafen.

Vi kan försöka lösa ytterligare de här olikheterna:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: den här olikheten skiljer sig från den förra genom att det står ≤ i stället för bara <. Lösningen blir densamma som i förra fallet, men i stället för ett öppet intervall använder vi ett slutet intervall. Lösningen blir alltså intervallet $[\frac{1}{2},3]$, eftersom funktionen 2x² − 7x + 3 har värdet noll i punkterna $\frac{1}{2}$ och 3, och nu söker vi när funktionen är mindre än eller lika med noll. Glöm inte att det står ≤ i olikheten.

• 2x² − 7x +3 > 0: lösningen blir de ”blå delarna” av funktionens graf. De intervall vi får måste vi bilda unionen av, eftersom funktionen är positiv både i intervallet $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[$ och i intervallet ]3, +∞[. Den resulterande mängden har formen $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}[\cup ]3,+\mathrm{\infty }[$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: vi har återigen bara ändrat > till ≥. Lösningen blir alltså samma mängd, men nu tar vi med elementen $\frac{1}{2}$ och 3, vilket vi gör med slutna intervall: $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,+\mathrm{\infty }[$.

Negativ koefficient a

Vad skulle hända om vi ändrade den förra olikheten till −x² + x + 2 < 0? Den största förändringen gäller koefficienten a, som nu är a = −1. I den förra olikheten hade vi 2x², där koefficienten framför x² var positiv, medan den här är negativ. Det bästa är att titta på grafen:

Vi ser att grafen framför allt har ändrats så att den inte längre har formen av bokstaven ”U” utan formen av en kulle. Själva tillvägagångssättet är ändå detsamma. Vi får igen tre intervall:

• ]−∞, −1[: värdena är negativa.
• ]−1, 2[: värdena är positiva.
• ]2, +∞[: värdena är negativa.

Lösningen på olikheten −x² + x + 2 < 0 blir alltså unionen av intervallen ]−∞, −1[ ∪ ]2, +∞[.

Men jag vill inte rita grafer hela tiden!

Det behöver du inte! Alla föregående lösningar bygger på att vi ritade en graf och utifrån den läste av skärningspunkterna med x-axeln och sedan också om värdena i ett visst intervall är positiva eller negativa. Men det går också på ett annat sätt.

Om vi har andragradsolikheten 3x² − 4x + 1 < 0 kan vi bara lösa andragradsekvationen 3x² − 4x + 1 = 0 med de vanliga metoderna. Vi beräknar alltså diskriminanten:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Sedan beräknar vi andragradsekvationens lösningar:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Vi vet att grafen skär x-axeln i punkterna $x_1=\frac{1}{3}$ och x₂ = 1. Vi får tre intervall: $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{3}[$, $]\frac{1}{3},1[$, ]1, +∞[. Frågan är hur vi ska ta reda på om funktionen f(x) = 3x² − 4x + 1 har positiva eller negativa värden i ett visst intervall.

Det gör vi genom att sätta in något tal från intervallet i funktionen f(x) = 3x² − 4x + 1. Om funktionsvärdet blir positivt är funktionen positiv i hela intervallet. Detsamma gäller för negativa värden.

• Vi väljer ett godtyckligt tal från intervallet $]-\mathrm{\infty },\frac{1}{3}[$, till exempel noll, som är lätt att räkna med. Vi sätter in noll i funktionen f: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Talet 1 är positivt, så i det här intervallet är värdena positiva.

• Vi väljer ett tal från intervallet $]\frac{1}{3},1[$: det bästa är nog en halv:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Talet $-\frac{1}{4}$ är negativt, så i det här intervallet är alla värden negativa.

• I det sista intervallet blir värdena desamma som i det första, alltså positiva. Det alternerar alltid: positivt – negativt – positivt eller negativt – positivt – negativt. Men vi kan gärna räkna ut det. Vi väljer ett tal från intervallet ]1, +∞[, till exempel 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Det är ett positivt tal, så alla värden i det här intervallet är positiva.

Nu återstår att lösa hela olikheten. Den hade formen 3x² − 4x + 1 < 0. Utifrån den tidigare informationen vet vi att funktionen 3x² − 4x + 1 har negativa värden i intervallet $]\frac{1}{3},1[$. Som kontroll kan vi titta på grafen:

Diskriminanten är noll

När vi löser en andragradsekvation kan diskriminanten bli noll. Det händer när grafen till funktionen tangerar x-axeln i en punkt. Vi visar det med olikheten 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Diskriminanten är lika med noll:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Grafen skulle se ut så här:

Som du ser tangerar grafen x-axeln i en enda punkt, x₁ = −1, och resten av grafen ligger ovanför x-axeln, med positiva värden. Det betyder att lösningen på olikheten 3x² + 6x + 3 ≥ 0 är hela mängden av reella tal, eftersom vi får ett värde som är större än eller lika med noll vilket reellt tal vi än sätter in för x.

Negativ diskriminant

Om vi får en negativ diskriminant betyder det att grafen aldrig skär x-axeln. Hur märks det i våra olikheter? Jo, grafen ligger antingen helt ovanför x-axeln eller helt under den. Om vi ändrar den förra olikheten så här: 3x² + 6x + 4 > 0 (vi ändrade tecknet från ≥ till > och ändrade talet tre till fyra), blir diskriminanten:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

och grafen skulle se ut så här:

Hela grafen ligger ovanför x-axeln, och vilket reellt tal vi än sätter in för x blir värdet alltid positivt. Lösningen på olikheten är alltså återigen mängden av de reella talen.