Квадратни неравенства

Квадратното неравенство можем да запишем в общ вид така: ax² + bx + c > 0 или ax² + bx + c < 0, където a, b, c са произволни реални числа, a ≠ 0. Вместо „по-голямо от“ и „по-малко от“, разбира се, можем да използваме „по-голямо или равно“ и „по-малко или равно“.

Положителен коефициент a

Такова неравенство се решава подобно на обикновено квадратно уравнение, първо пресмятаме дискриминантата и според резултата определяме как да продължим. Ако дискриминантата е положителна, съответното уравнение има два реални корена. Коренът на уравнението е точка от оста x, в която графиката на функцията ax² + bx + c пресича оста x. Така тези две пресечни точки разделят оста x на три интервала.

Можем да опитаме да решим неравенството 2x² − 7x + 3 < 0. Чертаем графиката на функцията 2x² − 7x + 3, тя изглежда така:

Виждаме, че графиката пресича оста x в две точки: $x_1=\frac{1}{2}$ и x₂ = 3. Ако решим съответното квадратно уравнение, ще получим същото решение, защото дискриминантата на това уравнение е

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Корените бихме пресметнали така:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Тези два корена разделят графиката на функцията 2x² − 7x + 3 на три интервала.

• $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})$ в този интервал стойностите са положителни (графиката е „над“ оста x, синята част на графиката)
• $(\frac{1}{2};3)$ в този интервал стойностите са отрицателни (графиката е „под“ оста x, червената част на графиката)
• (3; +∞) в този интервал стойностите отново са положителни, останалата синя част на графиката.

Забележи, че в интервалите използваме кръгли скоби, които означават отворен интервал. Това означава, че числата 3 и $\frac{1}{2}$ не са включени в интервала $(\frac{1}{2};3)$. Причината е, че в точката x = 3 функцията има стойност нула, а ние искахме да изпишем интервала, в който стойностите са по-малки от нула.

Сега вече знаем цялата необходима информация, за да определим решението на неравенството 2x² − 7x + 3 < 0. Питаме се кога стойностите на функцията 2x² − 7x + 3 са по-малки от нула? По-малки от нула са в интервала $(\frac{1}{2};3)$, червената част на графиката.

Можем да опитаме да решим още тези неравенства:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: това неравенство се различава от предишното по това, че има ≤ вместо само <. Резултатът ще е същият като в предишния случай, само че вместо отворен интервал използваме затворен интервал. Резултатът ще е интервалът $[\frac{1}{2};3]$, защото в точките $\frac{1}{2}$ и 3 функцията 2x² − 7x + 3 има стойност нула, а ние сега търсим кога тази функция е по-малка или равна на нула. Не забравяй, в неравенството има знак ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: резултатът ще са „сините части“ на графиката на функцията. Получените интервали трябва да обединим, защото функцията е положителна както в интервала $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})$, така и в интервала (3; +∞). Полученото множество има вида $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: отново само заменихме > с ≥. Резултатът ще е същото множество, само че включваме в него елементите $\frac{1}{2}$ и 3, което правим със затворен интервал: $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}]\cup [3;+\mathrm{\infty })$.

Отрицателен коефициент a

Какво би станало, ако предишното неравенство променим на −x² + x + 2 < 0? Главната промяна е в коефициента a, който сега е равен на a = −1. В предишното неравенство имахме 2x², коефициентът пред x² беше положителен, докато тук е отрицателен. Най-добре е да погледнем графиката:

Виждаме, че графиката се промени главно по това, че вече няма формата на буквата „U“, а има формата на хълм. В начина на решаване обаче нищо не се променя. Отново възникват три интервала:

• (−∞; −1): стойностите са отрицателни.
• (−1; 2): стойностите са положителни.
• (2; +∞): стойностите са отрицателни.

Решението на неравенството −x² + x + 2 < 0 ще е обединението на интервалите (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Но аз не искам все да драскам графики!

Не е нужно! Всички предишни решения се основаваха на това, че чертаехме графика и от нея отчитахме пресечните точки с оста x а после и дали в дадения интервал стойностите са положителни, или отрицателни. Може и по друг начин.

Ако имаме квадратното неравенство 3x² − 4x + 1 < 0, можем просто да решим квадратното уравнение 3x² − 4x + 1 = 0 по обичайния начин. Пресмятаме дискриминантата:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

След това пресмятаме корените на квадратното уравнение:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Знаем, че графиката пресича оста x в точките $x_1=\frac{1}{3}$ и x₂ = 1. Получаваме три интервала: $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3};1)$, (1; +∞). Въпросът е как да установим дали функцията f(x) = 3x² − 4x + 1 в дадения интервал има положителни, или отрицателни стойности.

Това установяваме, като всеки път заместваме във функцията f(x) = 3x² − 4x + 1 някакво число от дадения интервал. Ако стойността на функцията е положителна, функцията е положителна в целия интервал. Същото важи и за отрицателните стойности.

• Избираме произволно число от интервала $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})$, например нула, с нея се смята лесно. Пресмятаме f в нулата: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Числото 1 е положително, значи в този интервал стойностите са положителни.

• Избираме число от интервала $(\frac{1}{3};1)$: най-удобно е може би една втора:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Числото $-\frac{1}{4}$ е отрицателно, значи в този интервал всички стойности са отрицателни.

• В последния интервал стойностите ще са същите като в първия – положителни. Винаги се редуват: положителни – отрицателни – положителни или отрицателни – положителни – отрицателни. Но спокойно можем и да проверим. Избираме число от интервала (1; +∞), например 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Това е положително число, значи всички стойности в този интервал са положителни.

Остава да решим цялото неравенство. То беше: 3x² − 4x + 1 < 0. Въз основа на предишната информация знаем, че функцията 3x² − 4x + 1 има отрицателни стойности в интервала $(\frac{1}{3};1)$. Само за проверка можем да погледнем графиката:

Нулева дискриминанта

При решаването на квадратното уравнение може да ни излезе нулева дискриминанта. Тя излиза, когато графиката на функцията се допира до оста x в една точка. Ще го покажем на неравенството 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Дискриминантата е равна на нула:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Графиката би изглеждала така:

Както се вижда, графиката се допира до оста x в една-единствена точка x₁ = −1 и останалата част на графиката е над оста x, в положителните стойности. Това означава, че решение на неравенството 3x² + 6x + 3 ≥ 0 е цялото множество на реалните числа, защото каквото и реално число да заместим вместо x, стойността винаги ще е по-голяма или равна на нула.

Отрицателна дискриминанта

Ако ни излезе отрицателна дискриминанта, това означава, че графиката никога не пресича оста x. Как се проявява това в нашите неравенства? Така, че графиката е или изцяло над оста x, или изцяло под оста x. Ако предишното неравенство променим така: 3x² + 6x + 4 > 0 (променихме знака от ≥ на > и заменихме числото три с четири), дискриминантата би излязла:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

а графиката би изглеждала така:

Графиката е изцяло над оста x, каквото и реално число да заместим вместо x, получената стойност винаги ще е положителна. Следователно решение на неравенството отново е множеството на реалните числа.