Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado si può scrivere in forma generale così: ax² + bx + c > 0 oppure ax² + bx + c < 0, dove a, b, c sono numeri reali qualsiasi e a ≠ 0. Al posto di «maggiore di» e «minore di» possiamo ovviamente usare «maggiore o uguale a» e «minore o uguale a».

Coefficiente a positivo

Una disequazione di questo tipo si risolve in modo simile a una normale equazione di secondo grado: prima calcoliamo il discriminante e dal risultato possiamo ricavare il procedimento da seguire. Se il discriminante è positivo, l’equazione associata ha due radici reali. Una radice dell’equazione è un punto dell’asse x in cui il grafico della funzione ax² + bx + c interseca l’asse x. Queste due intersezioni dividono quindi l’asse x in tre intervalli.

Proviamo a risolvere la disequazione 2x² − 7x + 3 < 0. Disegniamo il grafico della funzione 2x² − 7x + 3, che ha questo aspetto:

Vediamo che il grafico interseca l’asse x in due punti: $x_1=\frac{1}{2}$ e x₂ = 3. Se risolvessimo l’equazione di secondo grado associata, otterremmo la stessa soluzione, perché il discriminante di questa equazione è

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Le radici si calcolerebbero così:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Queste due radici dividono il grafico della funzione 2x² − 7x + 3 in tre intervalli.

• $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})$: in questo intervallo i valori sono positivi (il grafico sta «sopra» l’asse x, parte blu del grafico)
• $(\frac{1}{2};3)$: in questo intervallo i valori sono negativi (il grafico sta «sotto» l’asse x, parte rossa del grafico)
• (3; +∞): in questo intervallo i valori sono di nuovo positivi, è la restante parte blu del grafico.

Osserva che negli intervalli usiamo le parentesi tonde, che indicano un intervallo aperto. Questo significa che né il numero 3 né $\frac{1}{2}$ appartengono all’intervallo $(\frac{1}{2};3)$. Il motivo è che nel punto x = 3 la funzione vale zero, mentre noi volevamo indicare l’intervallo in cui i valori sono minori di zero.

Ora conosciamo tutte le informazioni necessarie per determinare il risultato della disequazione 2x² − 7x + 3 < 0. Ci chiediamo: quando i valori della funzione 2x² − 7x + 3 sono minori di zero? Sono minori di zero nell’intervallo $(\frac{1}{2};3)$, la parte rossa del grafico.

Possiamo provare a risolvere anche queste disequazioni:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: questa disequazione si distingue dalla precedente perché c’è ≤ al posto del semplice <. Il risultato sarà lo stesso del caso precedente, solo che al posto dell’intervallo aperto useremo un intervallo chiuso. Il risultato sarà quindi l’intervallo $[\frac{1}{2};3]$, perché nei punti $\frac{1}{2}$ e 3 la funzione 2x² − 7x + 3 vale zero e ora cerchiamo quando questa funzione è minore o uguale a zero. Non dimenticare che nella disequazione c’è il simbolo ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: il risultato saranno le «parti blu» del grafico della funzione. Gli intervalli ottenuti dobbiamo unirli, perché la funzione è positiva sia nell’intervallo $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})$ sia nell’intervallo (3; +∞). L’insieme risultante è $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2})\cup (3;+\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: anche qui abbiamo solo cambiato > in ≥. Il risultato sarà quindi lo stesso insieme, ma includendo anche gli elementi $\frac{1}{2}$ e 3, cosa che facciamo con intervalli chiusi: $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{2}]\cup [3;+\mathrm{\infty })$.

Coefficiente a negativo

Che cosa succederebbe se cambiassimo la disequazione precedente in −x² + x + 2 < 0? Il cambiamento principale riguarda il coefficiente a, che ora è a = −1. Nella disequazione precedente avevamo 2x², il coefficiente davanti a x² era positivo, mentre qui è negativo. La cosa migliore è guardare il grafico:

Vediamo che il grafico è cambiato soprattutto perché non ha più la forma della lettera «U», ma quella di una collina. Il procedimento però non cambia. Di nuovo si formano tre intervalli:

• (−∞; −1): i valori sono negativi.
• (−1; 2): i valori sono positivi.
• (2; +∞): i valori sono negativi.

Il risultato della disequazione −x² + x + 2 < 0 sarà quindi l’unione degli intervalli (−∞; −1) ∪ (2; +∞).

Ma io non voglio scarabocchiare sempre grafici!

Non devi! Tutte le soluzioni precedenti si basavano sul fatto che abbiamo disegnato un grafico e da esso abbiamo letto i punti di intersezione con l’asse x e poi anche se in un dato intervallo i valori sono positivi o negativi. Ma si può fare anche in un altro modo.

Se abbiamo la disequazione di secondo grado 3x² − 4x + 1 < 0, possiamo semplicemente risolvere l’equazione di secondo grado 3x² − 4x + 1 = 0 con i metodi classici. Calcoliamo quindi il discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Poi calcoliamo le radici dell’equazione di secondo grado:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Sappiamo che il grafico interseca l’asse x nei punti $x_1=\frac{1}{3}$ e x₂ = 1. Si formano tre intervalli: $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3};1)$, (1; +∞). La domanda è come stabilire se la funzione f(x) = 3x² − 4x + 1 in un dato intervallo abbia valori positivi o negativi.

Lo scopriamo così: nella funzione f(x) = 3x² − 4x + 1 sostituiamo ogni volta un numero di quell’intervallo. Se il risultato della funzione è positivo, la funzione è positiva in tutto l’intervallo. Lo stesso vale per i valori negativi.

• Scegliamo un numero qualsiasi dall’intervallo $(-\mathrm{\infty };\frac{1}{3})$, per esempio zero, con cui si calcola comodamente. Calcoliamo la funzione f in zero: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Il numero 1 è positivo, quindi in questo intervallo i valori sono positivi.

• Scegliamo un numero dall’intervallo $(\frac{1}{3};1)$: il più comodo è forse un mezzo:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Il numero $-\frac{1}{4}$ è negativo, quindi in questo intervallo tutti i valori sono negativi.

• Nell’ultimo intervallo i valori saranno gli stessi del primo: positivi. I segni si alternano sempre: positivo – negativo – positivo oppure negativo – positivo – negativo. Ma possiamo tranquillamente verificarlo. Scegliamo un numero dall’intervallo (1; +∞), per esempio 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Questo è un numero positivo, quindi tutti i valori in questo intervallo sono positivi.

Resta da concludere l’intera disequazione. Aveva la forma 3x² − 4x + 1 < 0. Sulla base delle informazioni precedenti sappiamo che la funzione 3x² − 4x + 1 ha valori negativi nell’intervallo $(\frac{1}{3};1)$. Solo per verifica possiamo guardare il grafico:

Discriminante nullo

Risolvendo un’equazione di secondo grado, il discriminante può risultare nullo. Succede quando il grafico della funzione tocca l’asse x in un solo punto. Lo mostriamo con la disequazione 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Il discriminante è uguale a zero:

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Il grafico sarebbe questo:

Come si vede, il grafico tocca l’asse x in un solo punto x₁ = −1 e il resto del grafico sta sopra l’asse x, in valori positivi. Questo significa che la soluzione della disequazione 3x² + 6x + 3 ≥ 0 è l’intero insieme dei numeri reali, perché qualunque numero reale sostituiamo al posto di x, il valore sarà sempre maggiore o uguale a zero.

Discriminante negativo

Se il discriminante risulta negativo, significa che il grafico non interseca mai l’asse x. Come si manifesta questo nelle nostre disequazioni? Così: il grafico sta o interamente sopra l’asse x o interamente sotto l’asse x. Se modificassimo la disequazione precedente così: 3x² + 6x + 4 > 0 (abbiamo cambiato il simbolo da ≥ a > e il numero tre in quattro), il discriminante risulterebbe:

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

e il grafico avrebbe questo aspetto:

Il grafico sta interamente sopra l’asse x: qualunque numero reale sostituiamo al posto di x, il valore risultante sarà sempre positivo. La soluzione della disequazione è quindi di nuovo l’insieme dei numeri reali.