Kwadratische ongelijkheden

Een kwadratische ongelijkheid kunnen we in de algemene vorm zo opschrijven: ax² + bx + c > 0 of ax² + bx + c < 0, waarbij a, b, c willekeurige reële getallen zijn, a ≠ 0. In plaats van “groter dan” en “kleiner dan” kunnen we natuurlijk ook “groter dan of gelijk aan” en “kleiner dan of gelijk aan” gebruiken.

Positieve coëfficiënt a

Zo'n ongelijkheid los je op een vergelijkbare manier op als een gewone kwadratische vergelijking: eerst berekenen we de discriminant en uit het resultaat kunnen we de verdere werkwijze afleiden. Als de discriminant positief is, heeft de bijbehorende vergelijking twee reële oplossingen. Een oplossing van de vergelijking is een punt op de x-as waarin de grafiek van de functie ax² + bx + c de x-as snijdt. Deze twee snijpunten verdelen de x-as dus in drie intervallen.

We kunnen proberen de ongelijkheid 2x² − 7x + 3 < 0 op te lossen. We tekenen de grafiek van de functie 2x² − 7x + 3, die ziet er zo uit:

We zien dat de grafiek de x-as snijdt in twee punten: $x_1=\frac{1}{2}$ en x₂ = 3. Als we de gewone kwadratische vergelijking zouden oplossen, zouden we op dezelfde oplossingen uitkomen, want de discriminant van deze vergelijking is

$$D=b^2-4ac=(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

De oplossingen zouden we dan zo berekenen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Deze twee oplossingen verdelen de grafiek van de functie 2x² − 7x + 3 in drie intervallen.

• $⟨\leftarrow ,\frac{1}{2}⟩$ in dit interval zijn de waarden positief (de grafiek ligt “boven” de x-as, het blauwe deel van de grafiek)
• $⟨\frac{1}{2},3⟩$ in dit interval zijn de waarden negatief (de grafiek ligt “onder” de x-as, het rode deel van de grafiek)
• ⟨3, → ⟩ in dit interval zijn de waarden weer positief, het resterende blauwe deel van de grafiek.

Merk op dat we bij de intervallen punthaken gebruiken, die een open interval aangeven. Dat betekent dat de getallen 3 en $\frac{1}{2}$ niet in het interval $⟨\frac{1}{2},3⟩$ zitten. Dat komt doordat de functie in het punt x = 3 de waarde nul heeft, en wij wilden het interval opschrijven waarin de waarden kleiner dan nul zijn.

Nu hebben we alle nodige informatie om de oplossing van de ongelijkheid 2x² − 7x + 3 < 0 te bepalen. We vragen ons af wanneer de waarden van de functie 2x² − 7x + 3 kleiner zijn dan nul? Ze zijn kleiner dan nul in het interval $⟨\frac{1}{2},3⟩$, het rode deel van de grafiek.

We kunnen ook nog deze ongelijkheden proberen op te lossen:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: deze ongelijkheid verschilt van de vorige doordat er ≤ staat in plaats van alleen <. De oplossing is dezelfde als in het vorige geval, alleen gebruiken we in plaats van een open interval een gesloten interval. De oplossing is dus het interval $[\frac{1}{2},3]$, want in de punten $\frac{1}{2}$ en 3 heeft de functie 2x² − 7x + 3 de waarde nul en we zoeken nu wanneer deze functie kleiner is dan of gelijk aan nul. Vergeet niet dat er in de ongelijkheid het teken ≤ staat.

• 2x² − 7x +3 > 0: de oplossing zijn de “blauwe delen” van de grafiek van de functie. De intervallen die we krijgen, moeten we verenigen, want de functie is positief zowel in het interval $⟨\leftarrow ,\frac{1}{2}⟩$ als in het interval ⟨3, → ⟩. De uiteindelijke verzameling heeft de vorm $⟨\leftarrow ,\frac{1}{2}⟩\cup ⟨3,\to ⟩$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: ook hier hebben we alleen > veranderd in ≥. De oplossing is dus dezelfde verzameling, alleen nemen we er de elementen $\frac{1}{2}$ en 3 bij, wat we doen met een gesloten interval: $⟨\leftarrow ,\frac{1}{2}]\cup [3,\to ⟩$.

Negatieve coëfficiënt a

Wat zou er gebeuren als we de vorige ongelijkheid veranderden in −x² + x + 2 < 0? De belangrijkste verandering zit in de coëfficiënt a, die nu gelijk is aan a = −1. In de vorige ongelijkheid hadden we 2x², de coëfficiënt voor x² was positief, terwijl die hier negatief is. Het is het best om naar de grafiek te kijken:

We zien dat de grafiek vooral is veranderd doordat hij niet meer de vorm van de letter “U” heeft, maar de vorm van een berg. Aan de werkwijze verandert echter niets. Er ontstaan weer drie intervallen:

• ⟨ ← , −1⟩: de waarden zijn negatief.
• ⟨ − 1, 2⟩: de waarden zijn positief.
• ⟨2, → ⟩: de waarden zijn negatief.

De oplossing van de ongelijkheid −x² + x + 2 < 0 is dus de vereniging van de intervallen ⟨ ← , −1⟩ ∪ ⟨2, → ⟩.

Maar ik wil niet steeds grafieken krabbelen!

Dat hoeft niet! Alle voorgaande oplossingen waren gebaseerd op het feit dat we een grafiek tekenden en daaruit de snijpunten met de x-as afleidden en vervolgens ook of de waarden in het betreffende interval positief of negatief zijn. Het kan ook anders.

Als we de kwadratische ongelijkheid 3x² − 4x + 1 < 0 hebben, kunnen we gewoon de kwadratische vergelijking 3x² − 4x + 1 = 0 op de klassieke manieren oplossen. We berekenen dus de discriminant:

$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Vervolgens berekenen we de oplossingen van de kwadratische vergelijking:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

We weten dat de grafiek de x-as snijdt in de punten $x_1=\frac{1}{3}$ en x₂ = 1. We krijgen drie intervallen: $⟨\leftarrow ,\frac{1}{3}⟩$, $⟨\frac{1}{3},1⟩$, ⟨1, → ⟩. De vraag is hoe we vaststellen of de functie f(x) = 3x² − 4x + 1 in het betreffende interval positieve of negatieve waarden heeft.

Dat doen we door in de functie f(x) = 3x² − 4x + 1 steeds een getal uit het betreffende interval in te vullen. Als de uitkomst van de functie positief is, is de functie op het hele interval positief. Hetzelfde geldt voor negatieve waarden.

• We kiezen een willekeurig getal uit het interval $⟨\leftarrow ,\frac{1}{3}⟩$, bijvoorbeeld nul, daarmee rekent het lekker. Nul vullen we in de functie f in: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Het getal 1 is positief, in dit interval zijn de waarden dus positief.

• We kiezen een getal uit het interval $⟨\frac{1}{3},1⟩$: het beste is waarschijnlijk een half:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Het getal $-\frac{1}{4}$ is negatief, dus in dit interval zijn alle waarden negatief.

• In het laatste interval zijn de waarden hetzelfde als in het eerste: positief. Het wisselt altijd af: positief, negatief, positief of negatief, positief, negatief. Maar we kunnen het gerust uitrekenen. We kiezen een getal uit het interval ⟨1, → ⟩, bijvoorbeeld 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Dat is een positief getal, dus alle waarden in dit interval zijn positief.

Nu moeten we de hele ongelijkheid nog afmaken. Die had de vorm: 3x² − 4x + 1 < 0. Op basis van de voorgaande informatie weten we dat de functie 3x² − 4x + 1 negatieve waarden heeft in het interval $⟨\frac{1}{3},1⟩$. Alleen ter controle kunnen we naar de grafiek kijken:

Discriminant gelijk aan nul

Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking kunnen we een discriminant van nul krijgen. Die krijgen we op het moment dat de grafiek van de functie de x-as in één punt raakt. We laten het zien met de ongelijkheid 3x² + 6x + 3 ≥ 0. De discriminant is gelijk aan nul:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

De grafiek zou er zo uitzien:

Zoals je ziet raakt de grafiek de x-as in het enige punt x₁ = −1 en ligt de rest van de grafiek boven de x-as bij positieve waarden. Dat betekent dat de oplossing van de ongelijkheid 3x² + 6x + 3 ≥ 0 de hele verzameling van de reële getallen is, want welk reëel getal we ook voor x invullen, de waarde is altijd groter dan of gelijk aan nul.

Negatieve discriminant

Als we een negatieve discriminant krijgen, betekent dat dat de grafiek de x-as nooit snijdt. Hoe zie je dat terug in onze ongelijkheden? Zo dat de grafiek ofwel helemaal boven de x-as ligt, ofwel helemaal eronder. Als we de vorige ongelijkheid zo zouden aanpassen: 3x² + 6x + 4 > 0 (we hebben het teken veranderd van ≥ in > en we hebben het getal drie veranderd in vier), dan zou de discriminant zijn:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

en de grafiek zou er zo uitzien:

De grafiek ligt volledig boven de x-as, welk reëel getal we ook voor x invullen, de uitkomst is altijd positief. De oplossing van de ongelijkheid is dus opnieuw de verzameling van de reële getallen.