Ανισώσεις δευτέρου βαθμού

Μια ανίσωση δευτέρου βαθμού μπορούμε να τη γράψουμε στη γενική μορφή α x² + β x + γ > 0 ή α x² + β x + γ < 0, όπου οι α, β, γ είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί και α ≠ 0. Αντί για «μεγαλύτερο από» και «μικρότερο από» μπορούμε φυσικά να χρησιμοποιήσουμε «μεγαλύτερο ή ίσο» και «μικρότερο ή ίσο».

Θετικός συντελεστής α

Μια τέτοια ανίσωση λύνεται παρόμοια με μια συνηθισμένη εξίσωση δευτέρου βαθμού: πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα και από το αποτέλεσμα συμπεραίνουμε πώς θα συνεχίσουμε. Αν η διακρίνουσα είναι θετική, η αντίστοιχη εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Η ρίζα της εξίσωσης είναι ένα σημείο του άξονα x'x, στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης α x² + β x + γ τέμνει τον άξονα x'x. Αυτά τα δύο σημεία τομής χωρίζουν τον άξονα x'x σε τρία διαστήματα.

Ας δοκιμάσουμε να λύσουμε την ανίσωση 2x² − 7x + 3 < 0. Σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2x² − 7x + 3, που έχει την εξής μορφή:

Βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x'x σε δύο σημεία: $x_1=\frac{1}{2}$ και x₂ = 3. Αν λύναμε τη συνηθισμένη εξίσωση δευτέρου βαθμού, θα βρίσκαμε τις ίδιες λύσεις, γιατί η διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης είναι

$$\mathrm{\Delta }={\beta }^2-4\alpha \gamma =(-7{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$$

Τις ρίζες θα τις υπολογίζαμε ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-\beta -\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ x_2& =& \frac{-\beta +\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }=\frac{7+5}{4}=3\end{array}$$

Οι δύο αυτές ρίζες χωρίζουν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2x² − 7x + 3 σε τρία διαστήματα.

• $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$: σε αυτό το διάστημα οι τιμές είναι θετικές (η γραφική παράσταση βρίσκεται «πάνω» από τον άξονα x'x, το μπλε μέρος της γραφικής παράστασης)
• $(\frac{1}{2},3)$: σε αυτό το διάστημα οι τιμές είναι αρνητικές (η γραφική παράσταση βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα x'x, το κόκκινο μέρος της γραφικής παράστασης)
• (3, +∞): σε αυτό το διάστημα οι τιμές είναι πάλι θετικές, το υπόλοιπο μπλε μέρος της γραφικής παράστασης.

Πρόσεξε ότι στα διαστήματα χρησιμοποιούμε παρενθέσεις, που δηλώνουν ανοικτό διάστημα. Αυτό σημαίνει ότι ούτε ο αριθμός 3 ούτε ο $\frac{1}{2}$ ανήκουν στο διάστημα $(\frac{1}{2},3)$. Αυτό συμβαίνει επειδή στο σημείο x = 3 η συνάρτηση έχει τιμή μηδέν, ενώ εμείς ζητούσαμε το διάστημα στο οποίο οι τιμές είναι μικρότερες από το μηδέν.

Τώρα γνωρίζουμε όλα όσα χρειάζονται για να βρούμε τη λύση της ανίσωσης 2x² − 7x + 3 < 0. Ρωτάμε: πότε οι τιμές της συνάρτησης 2x² − 7x + 3 είναι μικρότερες από το μηδέν; Είναι μικρότερες από το μηδέν στο διάστημα $(\frac{1}{2},3)$, το κόκκινο μέρος της γραφικής παράστασης.

Μπορούμε να δοκιμάσουμε να λύσουμε και τις εξής ανισώσεις:

• 2x² − 7x + 3 ≤ 0: αυτή η ανίσωση διαφέρει από την προηγούμενη στο ότι έχει ≤ αντί για απλό <. Το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο όπως πριν, μόνο που αντί για ανοικτό διάστημα θα χρησιμοποιήσουμε κλειστό διάστημα. Το αποτέλεσμα θα είναι λοιπόν το διάστημα $[\frac{1}{2},3]$, γιατί στα σημεία $\frac{1}{2}$ και 3 η συνάρτηση 2x² − 7x + 3 έχει τιμή μηδέν και τώρα ψάχνουμε πότε αυτή η συνάρτηση είναι μικρότερη ή ίση με το μηδέν. Μην ξεχνάς ότι στην ανίσωση υπάρχει το σύμβολο ≤.

• 2x² − 7x +3 > 0: το αποτέλεσμα θα είναι τα «μπλε μέρη» της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Τα διαστήματα που προκύπτουν πρέπει να τα ενώσουμε, γιατί η συνάρτηση είναι θετική και στο διάστημα $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})$ και στο διάστημα (3, +∞). Το σύνολο που προκύπτει έχει τη μορφή $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2})\cup (3,+\mathrm{\infty })$.

• 2x² − 7x +3 ≥ 0: πάλι αλλάξαμε μόνο το > σε ≥. Το αποτέλεσμα θα είναι λοιπόν το ίδιο σύνολο, μόνο που θα συμπεριλάβουμε και τα στοιχεία $\frac{1}{2}$ και 3, κάτι που κάνουμε με κλειστό διάστημα: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{2}]\cup [3,+\mathrm{\infty })$.

Αρνητικός συντελεστής α

Τι θα γινόταν αν αλλάζαμε την προηγούμενη ανίσωση σε −x² + x + 2 < 0; Η βασική αλλαγή έγινε στον συντελεστή α, που τώρα είναι α = −1. Στην προηγούμενη ανίσωση είχαμε 2x², ο συντελεστής του x² ήταν θετικός, ενώ εδώ είναι αρνητικός. Το καλύτερο είναι να δούμε τη γραφική παράσταση:

Βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση άλλαξε κυρίως στο ότι δεν έχει πια σχήμα γράμματος «U», αλλά σχήμα λόφου. Στη διαδικασία όμως δεν άλλαξε τίποτα. Πάλι προκύπτουν τρία διαστήματα:

• (−∞, −1): οι τιμές είναι αρνητικές.
• (−1, 2): οι τιμές είναι θετικές.
• (2, +∞): οι τιμές είναι αρνητικές.

Το αποτέλεσμα της ανίσωσης −x² + x + 2 < 0 θα είναι επομένως η ένωση των διαστημάτων (−∞, −1) ∪ (2, +∞).

Μα εγώ δεν θέλω να σχεδιάζω συνέχεια γραφικές παραστάσεις!

Δεν χρειάζεται! Όλες οι προηγούμενες λύσεις στηρίζονταν στο ότι σχεδιάζαμε τη γραφική παράσταση και από αυτήν διαβάζαμε τα σημεία τομής με τον άξονα x'x και στη συνέχεια και το αν οι τιμές στο συγκεκριμένο διάστημα είναι θετικές ή αρνητικές. Γίνεται όμως και αλλιώς.

Αν έχουμε την ανίσωση δευτέρου βαθμού 3x² − 4x + 1 < 0, μπορούμε απλώς να λύσουμε την εξίσωση δευτέρου βαθμού 3x² − 4x + 1 = 0 με τους γνωστούς τρόπους. Υπολογίζουμε έτσι τη διακρίνουσα:

$$\mathrm{\Delta }={\beta }^2-4\alpha \gamma =(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4$$

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις ρίζες της εξίσωσης δευτέρου βαθμού:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{-\beta -\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}\\ x_2& =& \frac{-\beta +\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2\alpha }=\frac{4+2}{6}=1\end{array}$$

Ξέρουμε ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x'x στα σημεία $x_1=\frac{1}{3}$ και x₂ = 1. Προκύπτουν τρία διαστήματα: $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3},1)$, (1,+∞). Το ερώτημα είναι πώς θα βρούμε αν η συνάρτηση f(x) = 3x² − 4x + 1 έχει σε κάθε διάστημα θετικές ή αρνητικές τιμές.

Αυτό το βρίσκουμε αντικαθιστώντας στη συνάρτηση f(x) = 3x² − 4x + 1 έναν αριθμό από το συγκεκριμένο διάστημα. Αν το αποτέλεσμα της συνάρτησης είναι θετικό, τότε η συνάρτηση είναι θετική σε ολόκληρο το διάστημα. Το ίδιο ισχύει και για τις αρνητικές τιμές.

• Επιλέγουμε οποιονδήποτε αριθμό από το διάστημα $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$, για παράδειγμα το μηδέν, γιατί με αυτό οι πράξεις γίνονται εύκολα. Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης f για το μηδέν: f(0) = 3 · 0² − 4 · 0 + 1 = 1. Ο αριθμός 1 είναι θετικός, άρα σε αυτό το διάστημα οι τιμές είναι θετικές.

• Επιλέγουμε έναν αριθμό από το διάστημα $(\frac{1}{3},1)$: το καλύτερο είναι μάλλον το ένα δεύτερο:

  $$f(\frac{1}{2})=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}+1=3\cdot \frac{1}{4}-2+1=-\frac{1}{4}$$

  Ο αριθμός $-\frac{1}{4}$ είναι αρνητικός, άρα σε αυτό το διάστημα όλες οι τιμές είναι αρνητικές.

• Στο τελευταίο διάστημα οι τιμές θα είναι ίδιες με το πρώτο – θετικές. Πάντα εναλλάσσονται: θετικές – αρνητικές – θετικές ή αρνητικές – θετικές – αρνητικές. Μπορούμε όμως άνετα να το υπολογίσουμε. Επιλέγουμε έναν αριθμό από το διάστημα (1,+∞), για παράδειγμα το 10:

  $$f(10)=3\cdot {10}^2-4\cdot 10+1=300-40+1=261$$

  Αυτός είναι θετικός αριθμός, άρα όλες οι τιμές σε αυτό το διάστημα είναι θετικές.

Μένει να ολοκληρώσουμε τη λύση της ανίσωσης. Η ανίσωση ήταν η 3x² − 4x + 1 < 0. Με βάση τις προηγούμενες πληροφορίες ξέρουμε ότι η συνάρτηση 3x² − 4x + 1 έχει αρνητικές τιμές στο διάστημα $(\frac{1}{3},1)$. Για επαλήθευση μπορούμε να κοιτάξουμε και τη γραφική παράσταση:

Μηδενική διακρίνουσα

Κατά την επίλυση μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού μπορεί να προκύψει μηδενική διακρίνουσα. Αυτό συμβαίνει όταν η γραφική παράσταση της συνάρτησης εφάπτεται του άξονα x'x σε ένα σημείο. Θα το δούμε στην ανίσωση 3x² + 6x + 3 ≥ 0. Η διακρίνουσα είναι ίση με μηδέν:

$$\mathrm{\Delta }={\beta }^2-4\alpha \gamma =6^2-4\cdot 3\cdot 3=36-36=0$$

Η γραφική παράσταση θα έμοιαζε ως εξής:

Όπως φαίνεται, η γραφική παράσταση εφάπτεται του άξονα x'x μόνο στο σημείο x₁ = −1 και το υπόλοιπο της γραφικής παράστασης βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x, σε θετικές τιμές. Αυτό σημαίνει ότι λύση της ανίσωσης 3x² + 6x + 3 ≥ 0 είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, γιατί όποιον πραγματικό αριθμό κι αν αντικαταστήσουμε στο x, η τιμή θα είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν.

Αρνητική διακρίνουσα

Αν η διακρίνουσα προκύψει αρνητική, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση δεν τέμνει ποτέ τον άξονα x'x. Πώς φαίνεται αυτό στις ανισώσεις μας; Έτσι: η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη είτε πάνω από τον άξονα x'x είτε κάτω από τον άξονα x'x. Αν τροποποιήσουμε την προηγούμενη ανίσωση ως εξής: 3x² + 6x + 4 > 0 (αλλάξαμε το σύμβολο από ≥ σε > και αλλάξαμε το τρία σε τέσσερα), η διακρίνουσα θα έβγαινε:

$$\mathrm{\Delta }=6^2-4\cdot 3\cdot 4=-12$$

και η γραφική παράσταση θα έμοιαζε ως εξής:

Η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα x'x και όποιον πραγματικό αριθμό κι αν αντικαταστήσουμε στο x, η τιμή που προκύπτει θα είναι πάντα θετική. Λύση της ανίσωσης είναι επομένως πάλι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.