기울기와 y절편으로 나타낸 직선의 방정식

기울기와 y절편으로 나타낸 직선의 방정식은 직선이 x축과 이루는 각의 크기에서 출발한다.

일반형을 y에 대해 정리하기

직선의 방정식의 일반형이 ax + by + c = 0인 직선 p가 있다. 일차함수의 그래프가 직선이라는 것은 알고 있다. 그리고 일차함수는 보통 y = f(x) 꼴로 쓴다. 그래서 일반형 ax + by + c = 0을 이 꼴로 바꾸고 싶을 수 있다. 그러려면 b ≠ 0이어야 한다. 방정식을 y에 대해 정리하려면 방정식 전체를 b로 나누어야 하기 때문이다. b ≠ 0이면 일반형을 다음과 같이 변형할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/÷b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/y\text{에 대해 정리}\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

이렇게 해서 보통의 일차함수의 식을 얻었다. 이 식은 꽤 복잡하므로 다음과 같이 바꿔 놓는다.

$$\begin{array}{rcl}k& =& -\frac{a}{b}\\ q& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

그러면 앞의 방정식을 다음 꼴로 쓸 수 있다.

$$y=kx+q$$

다른 꼴이 아니라, 보기 싫은 분수 $-\frac{c}{b}$ 대신 q라고 쓴 것뿐이다. kx + q는 보통의 일차함수를 나타내므로 이 꼴의 직선은 y축에 평행할 수 없다. 사실 b ≠ 0이라고 정했을 때 이미 이 경우를 뺀 것이다.

b = 0이면 직선은 y축에 평행하고, 이런 직선의 방정식의 일반형은 ax + c = 0 꼴이다. 이 방정식을 a로 나누어 정리하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/÷a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

분수 $-\frac{c}{a}$도 보기 싫으므로 $m=-\frac{c}{a}$로 치환하면 마침내 다음 방정식을 얻는다.

$$x=m$$

정리하면, y축에 평행하지 않은 모든 직선은 y = kx + q 꼴로 쓸 수 있고(여기서 k, q ∈ ℝ), y축에 평행한 모든 직선은 x = m 꼴로 쓸 수 있다(여기서 m ∈ ℝ).

y = kx + q 꼴의 방정식을 기울기와 y절편으로 나타낸 직선의 방정식이라고 하고, 계수 k를 직선의 기울기라고 한다. (한국의 교과서에서는 보통 y = mx + n으로 쓴다.)

예제

두 점 A(2, 8), B(8, 10)을 지나는 직선이 있다. 이 직선을 기울기와 y절편으로 나타낸 방정식을 구하시오. 이 꼴은 직선의 방정식의 일반형에서 구하는 것이 가장 좋으므로 먼저 일반형을 만든다. 일반형은 ax + by + c = 0 꼴이고, 여기서 (a, b)는 법선벡터이므로 법선벡터를 찾는다. 방향벡터의 성분은 (8, 10) − (2, 8) = (6, 2)이므로, 법선벡터 $\overrightarrow{n}$의 성분은 (−2, 6)이다. 따라서 일반형에 a = −2, b = 6을 대입할 수 있다.

$$-2x+6y+c=0$$

좌표 (x, y)에 직선이 분명히 지나는 점을 대입한다. 예를 들어 점 B(8, 10)이다. 즉 방정식에 x = 8, y = 10을 대입한다.

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

다음 일반형이 나온다.

$$-2x+6y-44=0$$

이 방정식을 −2로 나누면 조금 더 깔끔한 꼴을 얻는다.

$$x-3y+22=0$$

기울기와 y절편으로 나타낸 방정식은 y에 대해 정리해서 얻는다. 나머지 항을 모두 우변으로 옮긴 다음 방정식을 3으로 나눈다.

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

마지막 줄이 기울기와 y절편으로 나타낸 직선의 방정식이다. 계수 k, q를 알고 싶으면 $k=\frac{1}{3},q=\frac{22}{3}$라고 쓰면 된다. 방향벡터 $\overrightarrow{u}$와 법선벡터 $\overrightarrow{n}$을 함께 그린 직선의 그래프도 보자.

계수 q가 $\frac{22}{3}$처럼 다루기 불편한 값이 아니었다면, 계수 q가 직선과 y축의 교점의 y좌표라는 것을 한눈에 알 수 있었을 것이다. y축과의 교점은 x좌표가 x = 0이다. 이를 방정식 $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$에 대입하면 $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$를 얻는다. 즉 x = 0일 때 y의 값은 $y=\frac{22}{3}$이다.

직선의 기울기

직선의 방정식이 y = kx + q 꼴이면 수 k를 직선의 기울기라고 한다. 직선의 기울기는 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각과 관계가 있다. 다음 그림을 보자.

그림에는 기울기 k는 서로 다르지만 계수 q = 2는 모두 같은 네 직선이 있다. 즉 모든 직선이 y = kx + 2 꼴이다. 기울기, 즉 미지수 x 앞의 수가 연속적으로 바뀌면 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각도 바뀐다는 것에 주목하자. 예를 들어 보라색 직선 $y=\frac{1}{2}x+2$는 x축과 각 δ를, 빨간 직선 y = x + 2는 각 γ를, 초록 직선 y = 2x + 2는 각 β를 이룬다.

이 경우에는 기울기가 클수록 직선이 x축과 이루는 각도 크다. 보라색 직선 $y=\frac{1}{2}x+2$의 기울기는 $k_1=\frac{1}{2}$이고 초록 직선 y = 2x + 2의 기울기는 k₂ = 2이므로 k₁ < k₂이다. 또 δ < β이다. 하지만 예를 들어 파란 직선 y = −2x + 2의 기울기는 k₃ = −2로 앞의 모든 기울기보다 작은데, 각 α는 모든 각 가운데 가장 크다.

기울기 k는 각과 어떤 관계가 있는 것 같다. 더 자세히 살펴보자. 보라색 직선 $y=\frac{1}{2}x+2$만 그리고 각 δ를 보자. 직선 위에 서로 다른 두 점 A, B를 아무렇게나 잡고, 그림처럼 이 두 점으로 직각삼각형 ABC를 만든다. 두 각 δ와 ϵ은 동위각이므로 크기가 같다.

이제 선분 AC와 BC를 이용해 각 ϵ을 나타내 보자. 그러려면 두 선분의 길이를 알아야 한다. 두 점 A와 B의 좌표를 A = (x₁, y₁) = (2, 3), B = (x₂, y₂) = (6, 5)라고 하자. 그러면 선분 AC의 길이는 차 |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4이다. 점 B의 x좌표는 점 C의 x좌표와 같으므로, 이 수에서 점 A의 x좌표를 빼면 선분 AC의 길이를 얻는다. 선분 BC도 똑같이 하되 y좌표를 쓴다. 그러면 $\overline{BC}=|y_2-y_1|=|5-3|=2$이다.

다음으로 삼각함수, 그 가운데 탄젠트를 이용한다. 직각삼각형 ABC에서 각 ϵ에 대해 $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$가 성립한다. 각 ϵ의 탄젠트는 이웃한 변에 대한 맞은편 변의 비이다. 선분의 길이를 대입하면 다음을 얻는다.

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

각 δ와 같은 각 ϵ의 탄젠트는 $\frac{1}{2}$이다. 다시 말해 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 탄젠트는 $\frac{1}{2}$이다. 그런데 이 직선의 방정식은 $y=\frac{1}{2}x+2$이다. 즉 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 탄젠트는 이 직선의 기울기와 같다! 우연이 아니라 일반적으로 성립하는 사실이다.

직선 p의 방정식이 y = kx + q이면 기울기 k는 직선 p가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 탄젠트와 같다.