직선의 방정식의 일반형

직선의 방정식의 일반형은 직선의 매개변수방정식에서 매개변수 t를 없애서 얻는다.

일차함수에서 일반형으로

일차함수를 기억하는가? 일차함수의 그래프는 직선이다. 일차함수의 기본 꼴은 y = ax + b이다. 두 점 A(0, 3), B(2, 7)을 지나는 직선 p를 보자.

두 점 A와 B를 지나는 직선

그래프가 바로 이 직선 p인 일차함수를 구해 보자. 이 일차함수는 y = ax + b 꼴이다. 직선이 점 A(0, 3)을 지나므로 x₁ = 0에서 함숫값은 y₁ = 3이다. 따라서 등식 a · 0 + b = 3이 성립해야 한다. 직선이 점 B(2, 7)을 지나므로 x₂ = 2에서 함숫값은 y₂ = 7이고, 등식 a · 2 + b = 7도 성립해야 한다. 구하려는 것은 계수 a, b이다. 그러면 다음 연립방정식을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} a \cdot 0 + b & = & 3 \\ a \cdot 2 + b & = & 7 \end{array}$

첫 번째 방정식 a · 0 + b = 3에서 계수 b를 쉽게 구할 수 있다. b = 3이다. 이 결과를 두 번째 방정식에 대입한다. 즉 방정식 a · 2 + b = 7의 b에 3을 대입한다.

$\begin{array}{rcl} a \cdot 2 + b & = & 7 \\ a \cdot 2 + 3 & = & 7 \\ a \cdot 2 & = & 4 \\ a & = & 2 \end{array}$

두 계수 a = 2, b = 3을 모두 구했다. 앞의 직선을 나타내는 함수는 y = 2x + 3이다. x에 x = 1을 대입하면 y = 2 + 3 = 5를 얻고, 이는 직선의 그래프와 맞는다. y = 2x + 3을 우변이 0이 되도록 바꿔 쓸 수도 있다. 즉 양변에 −(2x + 3)을 더한다. 그러면 다음 방정식을 얻는다.

$y - 2 x - 3 = 0$

이 방정식을 직선의 방정식의 일반형이라고 한다.

일반형의 정의

앞의 방법은 조금 복잡하고, 게다가 직선이 y축에 평행할 때는 쓸 수 없다. 이런 직선은 어떤 함수도 나타내지 않기 때문이다. 그래서 직선의 방정식의 일반형을 다른 방법으로 정의한다. 다음 꼴의 일차방정식은 모두 평면 위의 직선을 나타낸다고 하자.

$a x + b y + c = 0,$

여기서 a,b,c ∈ ℝ이고, a, b 가운데 적어도 하나는 0이 아니다. 또 평면 위의 모든 직선은 이 꼴로 나타낼 수 있다. 이 방정식을 직선의 방정식의 일반형이라고 한다. 일반형은 직선의 매개변수 표현에서 쉽게 구할 수 있다. 직선이 다음 매개변수방정식으로 주어져 있으면

$\begin{array}{rcl} x & = & a_{1} + t \cdot u_{1} \\ y & = & a_{2} + t \cdot u_{2}, \end{array}$

매개변수방정식에서 매개변수 t를 없애서 일반형을 구한다. 예를 들어 앞의 두 점 A(0, 3), B(2, 7)로 정해지는 직선을 계속 보자. 유향선분 $\vec{A B}$ 에서 방향벡터 $\vec{u}$ 를 구한다.

$\vec{u} = (u_{1}, u_{2}) = B - A = (2, 7) - (0, 3) = (2, 4)$

방향벡터 $\vec{u}$ 와 직선 p를 다시 보자.

방향벡터 u⃗와 직선 p

점 A와 벡터 $\vec{u}$ 로 매개변수방정식을 쓴다.

$\begin{array}{rcl} x & = & 0 + t \cdot 2 \\ y & = & 3 + t \cdot 4 \end{array}$

일반형을 얻으려면 매개변수 t가 없어지도록 두 방정식을 더해야 한다. 그래서 먼저 첫 번째 방정식에 −2를 곱하고 두 번째 방정식은 그대로 둔다.

$\begin{array}{rcl} - 2 x & = & 0 - t \cdot 4 \\ y & = & 3 + t \cdot 4 \end{array}$

이제 두 방정식을 더해 방정식 하나를 얻는다.

$\begin{array}{rcl} y - 2 x & = & 3 + t \cdot 4 - t \cdot 4 \\ y - 2 x & = & 3 \\ y - 2 x - 3 & = & 0 \end{array}$

이것이 직선 p의 방정식의 일반형이다. 앞의 방법과 똑같은 방정식을 얻었다.

일반형의 쓰임

일반형은 직선을 이루는 모든 점을 정해 준다. 일반형 ax + by + c = 0의 미지수 x,y에 방정식이 성립하도록 실수를 대입하면 점 (x, y)는 이 직선 위의 점이다. 일반형 y − 2x − 3 = 0으로 나타낸 앞의 직선으로 돌아가자. x,y에 x = 1, y = 5를 대입하면 다음 방정식을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 5 - 2 \cdot 1 - 3 & = & 0 \\ 5 - 2 - 3 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

즉 점 (1, 5)는 직선 위에 있다. x = 2, y = 3을 대입하면 다음 방정식을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 3 - 2 \cdot 2 - 3 & =^{?} & 0 \\ 3 - 4 - 3 & =^{?} & 0 \\ - 4 & \neq & 0 \end{array}$

등식이 성립하지 않으므로 점 (2, 3)은 직선 p 위에 있지 않다. 그림으로도 확인할 수 있다.

확인한 점들을 파란색으로 표시했다

y축에 평행한 직선

앞에서 말했듯이 y축에 평행한 직선 p의 일반형은 첫 번째 절의 방법으로는 구할 수 없다. 이런 직선은 어떤 함수도 나타내지 않기 때문이다. 하지만 이런 직선에도 일반형이 있고, 앞 절의 방법으로 구할 수 있다.

두 점 A(4, 2), B(4, 8)을 지나는 직선으로 보자. 방향벡터 $\vec{u}$ 는 다음과 같다.

$\vec{u} = (u_{1}, u_{2}) = B - A = (4, 8) - (4, 2) = (0, 6)$

그림을 보자.

직선 p와 방향벡터

점 A와 방향벡터 $\vec{u}$ 로 쓴 매개변수방정식은 다음과 같다.

$\begin{array}{rcl} x & = & 4 + t \cdot 0 \\ y & = & 2 + t \cdot 6 \end{array}$

이제 매개변수 t를 없애야 한다. 그런데 첫 번째 방정식이 수고를 덜어 주었다. 첫 번째 방정식에는 매개변수 t가 없으므로(정확히는 언제나 0이 곱해지므로) 이 방정식 전체를 직선 p의 일반형으로 쓸 수 있다. 따라서 직선 p의 방정식의 일반형은 다음과 같다.

$x - 4 = 0$

즉 방정식 ax + by + c = 0의 계수 a,b,c는 a = 1, b = 0, c = −4이다.

x축에 평행한 직선

x축에 평행한 직선의 예도 하나 보자. 두 점 A(2, 1), B(5, 1)을 지나는 직선이다. 방향벡터 $\vec{u}$ 는 다음과 같다.

$\vec{u} = (u_{1}, u_{2}) = B - A = (5, 1) - (2, 1) = (3, 0)$

그림을 보자.

직선 p와 그 방향벡터 u⃗

점 A로 쓴 직선의 매개변수방정식은 다음과 같다.

$\begin{array}{rcl} x & = & 2 + t \cdot 3 \\ y & = & 1 + t \cdot 0 \end{array}$

이번에도 두 번째 방정식에서 매개변수 t가 0이 곱해져 있으므로 매개변수를 없앨 필요가 없다. 그래서 두 번째 방정식을 그대로 직선 p의 일반형으로 쓸 수 있다.

$y - 1 = 0$

목차: 직선의 매개변수방정식, 직선의 방정식의 일반형, 직선의 법선벡터, 기울기와 y절편으로 나타낸 직선의 방정식, 공간에서 직선의 방정식

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