중앙값

간단히 말해 중앙값은 자료를 둘로 나누는 값으로, 값의 절반은 중앙값보다 작고 나머지 절반은 중앙값보다 크다. 실제로는 조금 더 복잡한데, 지금부터 살펴보자.

중앙값이란

중앙값을 구할 때는 모집단의 원소 개수가 짝수인지 홀수인지가 중요하다. 원소 개수가 홀수이면, 모든 값을 작은 것부터 큰 것까지 늘어놓았을 때 정확히 한가운데에 있는 값이 중앙값이다.

예를 들어 자료 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1을 보자. 모두 7개로 홀수이다. 수를 늘어놓으면 수열 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75를 얻는다. 중앙값을 Me로 나타내면, 중앙값은 한가운데에 있는 항인 3이다. 크기가 |X| = N이고 원소 x_i를 작은 것부터 큰 것까지 늘어놓은 모집단 X에 대한 일반적인 공식은 다음과 같다.

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

자료 X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75]에 적용해 보면 다음을 얻는다.

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

원소의 개수가 짝수이면 조금 고쳐야 한다. 값의 개수가 짝수인 수열에는 “한가운데의 항”이 없기 때문이다. 앞의 모집단에서 2를 하나 빼면 모집단 Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75]를 얻는데, 여기에는 한가운데의 항이 없다. 3과 4가 모두 “똑같이 한가운데”에 있다. 이때는 이렇게 한가운데에 있는 두 항을 모두 택하고, 그 산술평균을 중앙값으로 한다. 따라서 Y의 중앙값은 (3 + 4)/2 = 3.5이다.

크기가 N인 자료 X의 원소 x_i를 작은 것부터 늘어놓았을 때, 일반적인 공식은 다음과 같다.

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

자료 Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75]의 원소를 y_i로 나타내고 이 공식으로 중앙값을 구하면 다음을 얻는다.

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3.5$$

중앙값의 장점

평균과 달리 중앙값은 자료에 극단값이 있어도 문제가 없다. 앞의 예의 자료 X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75]의 평균은 $92/7\fallingdotseq 13.1429$인데, 일곱 개 가운데 여섯 개가 훨씬 작으니 조금 이상한 값이다. 반면 중앙값은 적당한 수인 3이다.

또 중앙값은 어떤 식으로든 순서를 매길 수 있는 모든 값에 쓸 수 있다. 평균은 더하고 나눌 수 있는 값에서만 구할 수 있다. 예를 들어 옷의 치수를 생각해 보자. 치수는 보통 XS, S, M, L, XL, XXL 같은 순서로 되어 있다. 이런 값으로는 평균을 구하기 어렵다. XS + L이나 XL + L을 어떻게 더하는지 분명하지 않고, 결국 어떻게 나눌지도 분명하지 않다. 하지만 어떤 모집단이 S, S, M, L, L, L, XXL의 옷을 샀다면 중앙값은 L이라고 할 수 있다. 치수의 개수가 짝수이면 산술평균을 구할 수 없으므로 문제가 될 수 있다. 이때는 보통 가운데에 있는 두 값 중 하나를 그냥 중앙값으로 고른다.