Медиана

Казано просто, медианата разделя някаква съвкупност от стойности така, че половината стойности да са по-малки от медианата, а другата половина — по-големи от медианата. В действителност е малко по-сложно и сега ще го разгледаме.

Какво е медиана

При медианата има значение дали броят на елементите на съвкупността е четен, или нечетен. Когато броят на елементите е нечетен, получаваме медианата, като наредим всички стойности от най-малката до най-голямата, и стойността, която е точно по средата, е медианата.

За пример вземаме съвкупността от числата 75, 4, 2, 3, 2, 5, 1. Те са общо 7, което е нечетно число. Нареждаме числата и получаваме редицата 1, 2, 2, 3, 4, 5, 75. Медианата, която ще означим с Me, е елементът, който е по средата, а това е числото 3. Общата формула за съвкупност X с големина |X| = N, чиито елементи са x_i и са наредени от най-малкия до най-големия, би била:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}$$

Ако я приложим към нашата съвкупност от стойности X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75], ще получим:

$$\text{Me}(X)=x_{(N+1)/2}=x_{(7+1)/2}=x_{8/2}=x_4=3$$

При четен брой елементи трябва да направим малка промяна, защото четна редица от стойности няма „елемент по средата“. Ако премахнем от съвкупността едното число 2, получаваме съвкупността Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75] и тя няма среден елемент. И двете числа 3 и 4 са „еднакво по средата“. В този случай се взимат двата елемента, които са така по средата, и медианата е тяхното средно аритметично. Медианата на стойностите Y би била стойността (3 + 4)/2 = 3,5.

Общата формула за стойностите X с големина N с наредени елементи x_i би изглеждала така:

$$\text{Me}(X)=\frac{x_{N/2}+x_{(N/2)+1}}{2}$$

Ако изчислим по този начин медианата на стойностите Y = [1, 2, 3, 4, 5, 75], като означим елементите с y_i, получаваме:

$$\text{Me}(Y)=\frac{y_{N/2}+y_{(N/2)+1}}{2}=\frac{y_{6/2}+y_{(6/2)+1}}{2}=\frac{y_3+y_4}{2}=\frac{3+4}{2}=3,5$$

Предимства на медианата

Медианата, за разлика от средната стойност, не страда от проблеми, когато в съвкупността има някакви крайни стойности. В споменатия по-горе пример със съвкупността X = [1, 2, 2, 3, 4, 5, 75] бихме получили средна стойност 92 / 7 ≈ 13,1429, което е доста странна стойност, когато шест от седемте елемента са много по-малки. Медианата е разумното число три.

Медианата може да се използва за всички стойности, които можем по някакъв начин да наредим. Средно аритметично можем да изчислим само за стойности, които можем да съберем и после да разделим. Можем да вземем например размера на дрехите: там обикновено има редица от типа XS, S, M, L, XL, XXL. Трудно бихме изчислили средно аритметично от такива стойности, защото не е ясно как се събират XS + L или XL + L, нито как бихме разделили накрая. Но ако някаква съвкупност е купила дрехи S, S, M, L, L, L, XXL, можем да кажем, че медианата е размер L. Проблем може да възникне, когато имаме четен брой размери, защото тогава не можем да изчислим средно аритметично. В този случай обикновено просто избираме едно от двете средни числа за медиана.