상트페테르부르크의 역설

상트페테르부르크의 역설은 통계, 의사 결정, 확률이 뒤섞인 문제이다. 상트페테르부르크의 한 카지노가 돈을 얼마간 딸 수 있는 게임을 제안한다. 할 일은 이 게임의 공정한 참가비가 얼마인지 알아내는 것이다.

게임의 규칙

게임에 참가하면 딜러가 동전을 던지기 시작한다. 첫 번째 던지기에서 앞면이 나오면 게임이 끝나고 1유로를 딴다. 뒷면이 나오면 게임이 계속된다. 두 번째 판에서도 동전을 던진다. 앞면이 나오면 게임이 끝나고, 앞에서 딸 수 있었던 돈의 두 배, 즉 2유로를 딴다. 뒷면이 나오면 계속한다. 세 번째 판에서 앞면이 나오면 4유로를 딴다. 네 번째 판에서 앞면이 나오면 8유로를 딴다.

일반화하면, k번째 판에서 앞면이 나오면 2^{k − 1}유로를 딴다. 이제 질문은 이 게임의 공정한 참가비가 얼마인가이다.

기댓값

공정한 값은 기댓값(평균)에 따라 정해져야 한다. 예를 들어 평균적으로 100유로를 딸 수 있다면 참가비는 100유로, 또는 카지노가 돈을 벌도록 조금 더 많아야 한다. 그러면 이 게임의 기댓값은 얼마일까? 각 상금을 받을 확률을 적어 보자. 첫째 열은 상금이고, 둘째 열은 그 상금을 받을 가능성이다. 예를 들어 첫 번째에 앞면이 나올 가능성은 $\frac{1}{2}$이다. 먼저 뒷면이 나오고 그다음 앞면이 나올 가능성은 $\frac{1}{4}$이다. 나머지도 마찬가지이다.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

이제 기댓값은 어떻게 구할까? 받을 수 있는 금액에 그 금액을 받을 확률을 곱하고 모두 더한다. 그러면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

기댓값은 무한대이다. 이상적인 경우 상금의 기댓값은 무한히 많은 유로이다. 나빠 보이지 않는다. 문제는 참가비도 무한대여야 한다는 것이다. 물론 말이 안 된다.

이 역설을 비판하는 사람들은 당연히 이렇게 반박한다. 게임을 무한히 오래 할 수 없고, 무한히 많은 돈을 딸 수도 없다. 게다가 동전을 던지는 최대 횟수를 무한대에서 어떤 유한한 수 n으로 “줄여도”, 금세 세상의 누구도 갖고 있지 않은 금액에 이른다. 예를 들어 41번 던지면 이미 2⁴⁰유로, 즉 약 1조 유로를 딴다. 열 번을 더 던지면 그 천 배를 딴다.

유한한 참가비

물론 아무도 참가비로 무한히 많은 유로를 내지 않는다. 하지만 이 역설은 유한한 돈으로도 어느 정도 보여 줄 수 있다. 1유로 단위의 금액마다 기댓값이 원하는 값이 되도록 하는 동전 던지기의 최대 횟수가 있기 때문이다. 예를 들어 참가비를 1,000유로로 하고 싶다면 동전을 던지는 최대 횟수를 2,000번으로 정한다. 그러면 다음 합을 계산한다.

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

그러면 기댓값은 1000유로이다. 참가비를 D유로로 하고 싶다면 동전을 던지는 최대 횟수를 2D로 정한다.

하지만 물론 1,000유로보다 많이 딸 가능성이 아주 작은데 참가비로 1,000유로를 내는 현명한 사람은 없다.

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