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생일 문제

한 반이나 모임에 몇 명이 있어야 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 적어도 50%가 될까? 태어난 해는 상관없고 월과 일만 따진다. 대부분의 사람은 직관적으로 183명쯤, 즉 1년의 절반쯤을 떠올린다. 정답은 23명이다.

역설처럼 보일 뿐이다. 모순은 전혀 없고, 직관이 완전히 엉뚱한 쪽으로 이끌 뿐이다.

왜 이렇게 적을까?

생일이 같은지 물으면 보통 자기 자신을 생각한다. 누군가 나와 생일이 같을까? 하지만 질문은 다른 것을 묻는다. 나와 같은 사람이 아니라, 모임 안의 아무 두 사람의 생일이 같은지를 묻는 것이다.

그런데 모임에서 생기는 두 사람의 쌍은 생각보다 훨씬 많다. 23명인 모임에서 각 사람은 나머지 22명과 쌍을 이룰 수 있다. 그러면 23 · 22개가 생기지만, 쌍마다 두 번씩 센 셈이다(영희와 철수, 철수와 영희). 따라서 쌍의 개수는 다음과 같다.

23⋅222=253.

이것은 이항계수 {}23C2와 같다. 쌍마다 생일이 같을 기회가 한 번씩 있고, 253번의 기회는 꽤 많다.

계산하는 방법

1년이 365일이고 2월 29일은 빼며, 어느 날에 태어날 가능성도 모두 같다고 하자. 실제로는 날짜별 출생 수가 조금씩 다르지만 결과에는 거의 영향이 없다.

적어도 두 사람의 생일이 같은 경우를 직접 계산하기는 매우 번거롭다. 두 사람이 같을 수도, 세 사람이 같을 수도, 서로 다른 두 쌍이 같을 수도 있다… 그래서 여사건을 이용해 돌아서 간다. 모든 사람의 생일이 다를 확률을 구해서 1에서 뺀다.

세 사람부터 시작하자. 첫 번째 사람은 아무 날이나 생일일 수 있으므로 365365이다. 두 번째 사람은 첫 번째 사람과 다른 날이어야 하므로 365일 가운데 364일만 남는다. 세 번째 사람에게는 이미 차지한 두 날이 빠지므로 363일이 남는다. 확률을 곱한다.

365365⋅364365⋅363365≒0.9918

세 사람 가운데 두 사람의 생일이 같을 확률은 1 − 0.9918 = 0.0082, 즉 1%가 채 안 된다.

23명일 때도 방법은 같고 분수만 많아진다. 23번째 사람은 365 − 22 = 343일 가운데서 고른다.

365365⋅364365⋅363365⋅…⋅343365≒0.4927

약 0.4927의 확률로 모든 사람의 생일이 다르다. 1에서 뺀다.

1−0.4927=0.5073

23명 가운데 적어도 두 사람의 생일이 같을 확률은 약 50.7%이다. 22명이면 아직 47.6%뿐이므로, 23명은 확률이 절반을 넘는 가장 작은 인원이다.

사람 수 n에 따른 생일이 같을 확률 P

사람이 한 명 늘 때마다 확률이 빠르게 커진다. 10명이면 약 12%, 30명이면 약 71%, 50명이면 약 97%, 70명이면 99.9%가 넘는다. 학생 서른 명이 있는 반에서 생일이 같은 두 사람이 없다면 오히려 운이 좋은 편이다.

내 생일은?

사람들이 가장 먼저 떠올리는 질문으로 돌아가 보자. 적어도 한 사람이 나와 생일이 같으려면 몇 명이 있어야 할까?

이번에는 계산이 다르다. n명 각각이 나와 생일이 다를 확률은 364365이고, 다른 사람과는 서로 독립이다. 다음 부등식을 만족하는 n을 찾으면 된다.

1−(364365)n≥12.

n = 252이면 약 0.4991로 아직 모자란다. n = 253이면 약 0.5005이므로 253명이 필요하다. 덧붙이면, 이는 23명인 모임의 쌍의 개수와 정확히 같다. 완전히 우연은 아니다. 253개의 쌍은 생일이 같을 기회 253번이고, 나와 비교하는 253명도 마찬가지이다. 하지만 수가 정확히 같게 나온 것은 조금 운이 좋은 것이다. 그리고 쌍들은 서로 조금씩 영향을 주므로, 23명일 때 50.05%가 아니라 50.7%가 나온다.

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목차: 몬티 홀 문제, 생일 문제, 벤포드의 법칙, 확률판 거짓말쟁이의 역설, 넥타이 역설, 심프슨의 역설, 위양성의 역설, 상트페테르부르크의 역설, 비추이적 주사위