확률판 거짓말쟁이의 역설

이 예는 고전적인 거짓말쟁이의 역설과 비슷하지만 확률로 바꾼 것이다.

문제

이 문제의 답을 무작위로 고르면, 고른 답이 맞을 확률은 얼마일까?

• A) 25%
• B) 50%
• C) 0%
• D) 25%

원래의 거짓말쟁이의 역설

이 예에는 자기 자신을 가리키는 문제에서 흔히 생기는 어려움이 있다. 그래서 위에서 거짓말쟁이의 역설을 언급했다. 거짓말쟁이의 역설은 이런 것이다. “이 문장은 거짓이다.” 이 문장이 정말 거짓이라면 이 문장은 참을 말한 것이다. 그런데 이 문장이 참을 말한다면 참일 수 없다. 스스로 거짓이라고 말하기 때문이다!

풀이

풀이에서는 확률이 고르게 분포한다고 가정한다. 즉 각 답을 확률 25%로 무작위로 고를 수 있다.

• 답 A가 맞다고 가정하자. 여기서 중요한 것은 답 D에도 같은 퍼센트가 적혀 있다는 점이다. 그래서 답 25%를 고를 확률은 50%이다. 따라서 답 A도 D도 맞을 수 없다.
• 답 B를 고를 확률은 25%이다. 따라서 답 B도 맞을 수 없다. 답 B는 맞는 답을 고를 확률이 50%라고 말하기 때문이다.
• 답 C를 고를 확률은 25%이다. 따라서 답 C도 맞을 수 없다. 답 C는 맞는 답을 고를 확률이 0%라고 말하기 때문이다.

보다시피 맞는 답이 하나도 없다. 그러면 맞는 답을 고를 확률은 얼마일까? 맞는 답이 하나도 없다면 맞는 답을 고를 확률은 0%이다. 그런데 이것은 맞는 답을 고를 확률이 0%라고 말하는 답을 실제로 25%의 확률로 고를 수 있다는 것과 모순이다.

따라서 이 문제에는 답이 없다. 고전적인 거짓말쟁이의 역설과 비슷한 멋진 역설이다.