심프슨의 역설

심프슨의 역설은 영국 통계학자의 이름을 딴 통계의 역설이다. 두 대상이 있을 때 한쪽이 모든 관찰에서 다른 쪽보다 성공률이 높은데도, 전체를 합치면 다른 쪽의 성공률이 더 높을 수 있다는 역설이다.

예

서로 다른 두 학교에서 서로 다른 과목을 공부하는 두 학생이 있다. 이들을 영희와 민준이라고 하자. 둘 다 한 학기 동안 자기 과목에서 시험을 두 번 본다. 영희는 첫 번째 시험의 정답률이 30%, 두 번째 시험의 정답률이 100%이다. 민준은 첫 번째 시험의 정답률이 25%, 두 번째 시험의 정답률이 75%이다.

영희가 더 잘하는 학생으로 보인다. 하지만 맞힌 문제의 수를 덧붙이면 꼭 그렇게 보이지는 않는다. 문제의 핵심은 영희와 민준이 서로 다른 학교에 다녀서 서로 다른 시험을 보았다는 것이다.

영희는 첫 번째 시험에서 10문제 가운데 3문제를 맞히고(정답률 30%), 두 번째 시험에서 2문제 가운데 2문제를 맞혔을 수 있다(100%). 그러면 모두 12문제 가운데 5문제를 맞힌 것이다. 민준은 4문제 가운데 1문제(25%), 그다음 8문제 가운데 6문제(75%)를 맞혔을 수 있다. 그러면 모두 12문제 가운데 7문제를 맞힌 것이다. 이렇게 보면 민준이 더 잘했다.

심프슨의 역설은 꽤 흔하고, 이해하기 어려운 점은 없다. 이 현상을 처음으로 제대로 설명한 에드워드 H. 심프슨의 이름을 땄다. 물론 이 역설은 그 전에도 나타났다.