넥타이 역설

민준과 준호가 휴가지에서 만났다. 좋은 와인을 몇 병 비운 뒤, 둘은 누구의 넥타이가 더 비싼지 내기를 하기 시작한다.

문제

앞에서 말했듯이 민준과 준호는 와인을 몇 병 비운 뒤 누구의 넥타이가 더 비싼지 내기를 한다. 둘 다 크리스마스에 아내에게서 넥타이를 선물로 받았고, 넥타이가 얼마인지는 본인들도 모른다. 내기의 정확한 내용은 이렇다. 아내에게 값을 물어보고, 더 싼 넥타이를 가진 사람이 상대방의 넥타이를 받는다. 즉 준호의 넥타이가 민준의 넥타이보다 싸면 준호가 민준의 넥타이를 받는다. 반대도 마찬가지이다. 첫 번째 질문은 둘 가운데 누가 유리한가이다. 누군가에게 내기를 하는 것이 이득일까, 아니면 둘의 가능성이 완전히 같을까?

잘못된 풀이

어쩌면 그럴지도 모른다. 앞으로 두 넥타이의 값은 다르다고 가정하자. 값이 같으면 아무도 상대의 넥타이를 받지 않으므로 풀이에는 아무 영향이 없다. 함께 계산해 보자. 준호의 넥타이는 X원이다. 준호는 민준의 넥타이에 대해 아무것도 모르고 다른 단서도 없으므로, 자기 넥타이가 더 쌀 확률은 50%, 더 비쌀 확률도 50%이다. 즉 준호의 넥타이가 더 비싸면 X원을 잃는다. 하지만 더 싸면 X원보다 많이 얻는다. 둘 다 확률은 50%이다. X원을 잃을 가능성이 50%이고 X원보다 많이 얻을 가능성이 50%이다.

확률이 같은데 잃을 수 있는 돈보다 많은 돈(더 비싼 넥타이)을 얻을 수 있다. 이득이다! 준호에게는 모든 것이 아주 좋아 보이고, 내기를 하는 편이 나아 보인다. 잃을 수 있는 것보다 더 많이 얻을 수 있다.

하지만 다들 짐작하겠지만 민준도 똑같이 생각할 수 있다. 민준에게도 값이 Y인 자기 넥타이를 잃을 가능성이 50%, 값이 Y보다 비싼 넥타이를 얻을 가능성이 50% 있다.

같은 내기에서 두 사람이 모두 유리할 수는 없다. 어딘가 잘못되었다.

풀이

먼저 각자가 실제로 무엇을 얻을 수 있는지 적어 보자. 넥타이 값을 아무렇게나 구체적으로 정해 보자. 간단하게 넥타이가 30000원과 40000원짜리 두 개뿐이라고 하자. 그러면 준호의 입장에서 다음 경우가 생긴다.

• 준호의 넥타이가 30000원이고 민준의 넥타이가 40000원 → 준호는 40000원을 얻었다.
• 준호의 넥타이가 40000원이고 민준의 넥타이가 30000원 → 준호는 40000원을 잃었다.

(두 넥타이의 값이 같은 경우는 빼기로 했지만, 꼭 뺄 필요는 없다. 그때는 아무도 이기지 않는다.)

보다시피 언제나 같은 돈을 걸고 하는 내기이다. 준호는 40000원을 얻거나 40000원을 잃는다. 물론 구체적인 값과는 상관없다. 25000원과 35000원을 넣으면 언제나 35000원을 걸고 하는 내기가 된다. 따라서 추가 정보가 없다면 누구에게도 내기를 하는 것(또는 하지 않는 것)이 이득이 아니다.

넥타이가 서로 다른 세 개, 예를 들어 20000원, 30000원, 40000원짜리라면 경우가 조금 더 많아진다. 먼저 준호가 이기는 경우, 그다음 준호가 지는 경우이다.

• 준호의 넥타이가 20000원이고 민준의 넥타이가 30000원 → 준호는 30000원을 얻었다.
• 준호의 넥타이가 20000원이고 민준의 넥타이가 40000원 → 준호는 40000원을 얻었다.
• 준호의 넥타이가 30000원이고 민준의 넥타이가 40000원 → 준호는 40000원을 얻었다.
• 준호의 넥타이가 30000원이고 민준의 넥타이가 20000원 → 준호는 30000원을 잃었다.
• 준호의 넥타이가 40000원이고 민준의 넥타이가 20000원 → 준호는 40000원을 잃었다.
• 준호의 넥타이가 40000원이고 민준의 넥타이가 30000원 → 준호는 40000원을 잃었다.

모든 경우는 일어날 확률이 같다. 보다시피 준호가 얻을 수 있는 돈은 잃을 수 있는 돈과 정확히 같다. 넥타이가 더 많아도 비슷한 표를 얻고, 언제나 준호가 잃을 수 있는 돈과 얻을 수 있는 돈이 같다. 그리고 모든 경우의 확률이 같으므로 어느 쪽도 불리하지 않다.

준호가 저지른 가장 큰 잘못은 자기 넥타이의 값을 고정된 값으로 계산했다는 것이다. 그렇게 할 수는 없다. 넥타이가 두 개인 예에서 보듯이, 질 때의 넥타이 값은 이길 때의 넥타이 값과 달랐다. 넥타이가 세 개인 다음 예도 마찬가지이다. 준호가 이길 때 자기 넥타이 값은 집합 {20000, 30000}에 속했고, 질 때는 집합 {30000, 40000}에 속했다. 그런데도 준호는 계속 고정된 금액으로 계산했다.