판별식

판별식은 일반적인 이차방정식의 해를 구하거나, 방정식에 해가 있는지, 있다면 몇 개인지 알아내는 데 쓰는 식이다.

공식과 기본 관계

먼저 이차방정식의 기본 꼴을 다시 보자.

$$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$$

여기서 a, b, c는 실수이다. 판별식을 D라고 하면 다음과 같이 구한다.

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

예: 이차방정식 3x² + 5x − 7 = 0이 있다. 이 방정식에서는 a = 3, b = 5, c = −7이다. 판별식은 다음과 같이 구한다.

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot (-7)=25+4\cdot 3\cdot 7=25+84=109$$

결과는 109이다. 이 수는 무엇을 알려 줄까? 판별식이

• 양수이면 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• 0이면 방정식은 중근(같은 두 실근)을 갖는다.
• 음수이면 방정식은 실수 범위에서 해가 없다. 하지만 복소수 범위에서는 해가 있다(허근).

이차방정식의 근을 구하는 방법

판별식을 이용하면 이차방정식의 근을 바로 구할 수 있다. 근의 공식은 다음과 같다.

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a},$$

여기서 D는 판별식이다. 판별식을 풀어 쓴 공식 전체는 다음과 같다.

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

이 공식으로 이차방정식 x² + 7x + 12 = 0의 근을 구해 보자. 먼저 판별식을 구한다.

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.$$

판별식이 양수이므로 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다. 첫 번째 근을 구한다. 먼저 판별식의 제곱근을 더하고, 다음 단계에서는 제곱근을 뺀다.

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac{6}{2}=-3.$$

첫 번째 근은 −3이다. 두 번째 근은 제곱근을 빼서 구한다.

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac{8}{2}=-4.$$

이제 방정식의 두 근 x₁ = −3과 x₂ = −4를 모두 얻었다.

이 방법을 익히려면 a, b, c의 값을 정확히 정할 수 있어야 한다. 정하는 방법은 이차방정식 글에서 설명했다.

이 해는 그래프에서 무엇을 뜻할까? 방정식의 좌변에 있는 함수의 그래프를 그려 보면, 이 이차함수의 그래프가 x축과 두 점, x₁ = −3과 x₂ = −4에서 만난다는 것을 알 수 있다.

판별식이 0일 때

판별식이 0이면 방정식의 해는 있지만 하나뿐이다. 정확히는 두 개이지만 서로 같다. 예: 방정식 x² − 10x + 25 = 0을 푸시오. 판별식을 구한다.

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100=0.$$

앞 절과 마찬가지로 공식으로 근을 구한다. 하지만 판별식이 0이므로 공식에서 D의 제곱근을 더하고 빼는 부분이 사라진다. 0을 더하거나 빼는 것이기 때문이다.

$$x_{1,2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

중근 x = 5가 나왔다. 그래프에서는 무엇을 뜻할까? 함수의 그래프가 x축과 한 점, 즉 꼭짓점에서만 만난다(접한다)는 뜻이다.

판별식이 음수일 때

판별식이 음수이면 이차방정식은 실수 범위에서 해가 없다. 복소수 범위에서 풀 수는 있지만 이는 다음 글에서 다룬다. 예로 이차방정식 x² + x + 1 = 0을 풀어 보자. 판별식은 다음과 같다.

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

따라서 이 이차방정식은 실수 범위에서 해가 없다. 직접 확인해 볼 수 있다. 다항식 x² + x + 1은 모든 실수에 대해 양수이다. 예를 들어 x에 1을 대입하면 1 + 1 + 1 = 3이다. x = −1이면 1 − 1 + 1 = 1이다. x = 0이면 0 + 0 + 1 = 1이다. 다른 수도 마찬가지이다. 함수 y = x² + x + 1의 그래프를 보아도 x축과 만나지 않는다.

근과 계수의 관계

이차방정식의 해를 구하는 방법은 알았다. 그렇다면 두 해 사이에는 어떤 관계가 있을까? 두 해 x₁과 x₂를 더해 보자.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{array}$$

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근을 더하면 몫 −b/a를 얻는다. 두 근을 곱하면 어떻게 될까?

$$\begin{array}{rcl}{x}_1\cdot x_2& =& \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ & =& \frac{b^2+b\cdot \sqrt{D}-b\cdot \sqrt{D}-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-D}{4a^2}\\ & =& \frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ & =& \frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{array}$$

두 근을 곱하면 수 c/a를 얻는다. 이것이 근과 계수의 관계(비에트의 공식)이다. 한 번에 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

분모에는 언제나 a가 있다는 점에 주목하자. a = 1인 이차방정식은 특별한 경우이다. 이때 근과 계수의 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{r}a=1\text{일 때:}\\ x_1+x_2& =& -b\\ x_1\cdot x_2& =& c\end{array}$$

이 관계를 이용해 이차방정식의 해를 구할 수도 있다. 판별식을 복잡하게 계산하는 대신, 위의 관계를 만족하는 수 x₁과 x₂를 찾을 수 있는지 살펴보는 것이다. 예: 방정식 x² + 8x + 15 = 0의 해를 구하시오. a = 1이므로 더 간단한 관계를 쓸 수 있다. 다음을 만족하는 수 x₁과 x₂를 찾는다.

$$\begin{array}{rcl}{x}_1+x_2& =& -8\\ x_1\cdot x_2& =& 15\end{array}$$

정수만 생각하면 곱이 15가 되는 경우는 모두 네 가지이다.

$$\begin{array}{rcl}1\cdot 15& =& 15\\ 3\cdot 5& =& 15\\ -3\cdot (-5)& =& 15\\ -1\cdot (-15)& =& 15\end{array}$$

이제 좌변의 두 수의 합이 −8이 되어야 한다. 이런 합이 되는 쌍은 −3과 −5뿐이다. 따라서 이 두 수가 이차방정식의 해이다. 방정식에 대입해 보면 0이 나와야 한다.

$$\begin{array}{rcl}(x=-3):& & (-3{)}^2+8\cdot (-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):& & (-5{)}^2+8\cdot (-5)+15=25-40+15=0\end{array}$$

맞다. 근을 알면 방정식을 더 알아보기 쉬운 꼴로 쓸 수도 있다. x₁과 x₂가 방정식 ax² + bx + c = 0의 근이고 a = 1이면, 방정식을 다음 꼴로 바꿔 쓸 수 있다.

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

따라서 앞의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$