직각삼각형

직각삼각형은 내각 하나가 직각, 즉 90도인 삼각형이다. 이 삼각형에는 몇 가지 흥미로운 성질이 있는데, 이 글에서 그 성질들을 살펴본다.

기본 설명

직각삼각형은 삼각형에 관한 글에서 이미 조금 다루었다. 직각삼각형은 내각 하나가 90도이다. 나머지 두 내각은 반드시 90도보다 작아야 한다. 그렇지 않으면 내각의 합이 180도가 되지 않기 때문이다. 게다가 나머지 두 각의 합은 90도이다.

직각삼각형에도 물론 변이 세 개 있다. 그 가운데 두 변(빨간 변)은 직각을 낀 변으로, 짧은 변들이다. 세 번째 변은 빗변(파란 변)이라고 하며 가장 긴 변이다. 빗변은 언제나 직각이 있는 꼭짓점의 맞은편에 있다.

피타고라스 정리

아마 수학에서 가장 유명한 정리인 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 성립한다. 피타고라스 정리는 삼각형의 변의 길이에 관한 정리이다. 이 정리에 따르면 “직각삼각형의 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 직각을 낀 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다”. 빗변이 a인 위의 삼각형에 대해 식으로 쓰면 다음과 같다.

$$a^2=b^2+c^2$$

다음은 피타고라스 정리를 나타낸 그림이다. 이번에는 흔히 쓰는 대로 빗변을 c로 나타냈다.

이 정리는 별도의 글에서 자세히 다룬다.

직각삼각형의 넓이

직각삼각형에서는 높이가 직각을 낀 두 변과 일치하므로 넓이를 아주 쉽게 구할 수 있다. 첫 번째 그림의 직각삼각형을 떠올려 보자. 높이를 모를 때 이 삼각형의 넓이는 어떻게 구할까? 삼각형에 부분을 덧붙여 직사각형을 만들 수 있다. 직사각형의 두 변은 삼각형에서 직각을 낀 두 변이고, 나머지 두 변은 직사각형이 되도록 덧붙인다.

직사각형의 넓이는 이미 구할 수 있다. 이웃한 두 변의 길이의 곱이고, 이 경우에는 빨간 두 변 AC와 AB의 길이의 곱이다. 이렇게 직사각형의 넓이를 얻는다. 그런데 빗변 BC는 직사각형의 대각선이고, 대각선은 직사각형을 이등분한다. 그래서 직사각형의 넓이를 2로 나누면 직각삼각형의 넓이를 얻는다. 공식은 다음과 같다.

$$S_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

여기서 b와 c는 직각을 낀 두 변의 길이이다.

사인과 코사인

직각삼각형에서는 기본적인 삼각비와 그 관계를 쓸 수 있다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 같은 삼각비는 직각삼각형의 변의 길이 사이의 비를 나타낸다. 첫 번째 삼각형을 다시 보자. 이번에는 각을 표시했다.

두 변의 길이의 비를 구하려면 두 길이를 주어진 순서대로 나누면 된다. 예를 들어 두 변의 길이의 비 b:c(“b 대 c”라고 읽는다)는 3/5, 즉 3을 5로 나누어 구한다(변 b의 길이는 3, 변 c의 길이는 5이다).

사인은 두 변의 비와 한 각을 다룬다. 그림에 대해서는 다음이 성립한다. 두 변의 비 b:a를 구하면 각 β에 대한 사인의 값을 얻는다. 코사인도 비슷하게, 비 c:a와 같은 각 β로 구한다. 즉 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

직각삼각형에서 사인과 코사인은 언제나 90도보다 작은 각에만 쓴다. 이 경우에는 각 β와 γ이다. 이 범위에서 사인과 코사인의 값은 언제나 구간 (0, 1)에 있다. 그래서 언제나 짧은 변을 긴 변으로 나눈다고 기억하면 된다. 그래야 구간 (0, 1)의 값이 나온다.

두 함수는 모두 직각을 낀 한 변과 빗변을 다루고, 직각을 낀 두 변을 함께 다루는 일은 없다. 언제나 짧은 변을 긴 변으로 나누므로 빗변은 언제나 분모에 있다. 위의 공식을 보면 분모는 언제나 삼각형의 빗변인 a이다.

마지막 규칙은 사인은 각의 맞은편 변을, 코사인은 각에 이웃한 변을 다룬다는 것이다. 무슨 뜻일까? 각 β에 대해 이웃한 변은 점 B에서 시작하는 변 c이다. 맞은편 변은 다른 변인 b이다. 그래서 사인의 공식에는 변 b가, 코사인의 공식에는 변 c가 들어간다.

정리하면, 사인은 빗변에 대한 맞은편 변의 비이고, 코사인은 빗변에 대한 이웃한 변의 비이다. 이것을 어디에 쓸 수 있을까? 삼각형의 각과 빗변 또는 다른 한 변의 길이를 알면 나머지 변의 길이를 구할 수 있다. 예를 보자.

앞의 삼각형에서 다음이 성립한다.

$$\overline{AC}=b=3,\overline{AB}=c=5,\beta ={30.96}^{\circ }$$

변 a의 길이는 얼마일까? 다음이 성립한다는 것을 알고 있다.

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

사인의 값과 변 b의 길이를 알고 있고, 변 a의 길이를 구하려고 한다. 등식의 성질을 이용해 a를 한쪽으로 모은다.

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(먼저 등식의 양변에 a를 곱하고, 그다음 사인으로 나누었다.) 우변에는 이제 아는 값만 있으므로 대입한다. 사인의 값은 계산기로 구한다.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{0.514}=5.83.$$

변 a의 길이는 5.83이다. 계산기로 사인을 계산할 때는 도 모드가 켜져 있는지 확인하자. 다른 각의 단위인 라디안으로 계산하는 바람에 문제가 생기는 경우가 많다. 다음 변환 공식이 성립한다.

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

여기서 deg는 도로 나타낸 값이다.

탄젠트와 코탄젠트

직각삼각형에서는 이 두 함수도 쉽게 쓸 수 있다. 이번에도 언제나 90도보다 작은 각을 다룬다. 하지만 사인이나 코사인과 달리 이 두 함수는 빗변이 아니라 직각을 낀 두 변만 다룬다. 각의 탄젠트는 이웃한 변에 대한 맞은편 변의 비이고, 코탄젠트는 맞은편 변에 대한 이웃한 변의 비이다.

앞의 삼각형에 대해서는 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

앞의 삼각형에서 각 β를 이용해 변 AC(변 b)의 길이를 구해 보자. 각의 크기는 앞의 예에서 알고 있다. 다음이 성립한다는 것을 알고 있다.

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

변 b를 한쪽으로 모은다.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(등식의 양변에 c를 곱하고 좌변과 우변을 바꾸었을 뿐이다.) 이제 변 b의 길이를 구하는 데 필요한 것을 모두 안다. 대입한다.

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30.96)=5\cdot 0.6=3$$

그림에서 보아도 올바른 답이 나왔다는 것을 알 수 있다. 이번에도 공식의 탄젠트에는 도로 나타낸 값이 들어가지만, 계산기는 라디안으로 된 각을 요구할 수 있다는 것에 주의하자.

같은 변을 코탄젠트로 구해 볼 수도 있다.

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

값을 대입한다.

$$b=\frac{5}{\cot (30.96)}=\frac{5}{1.666\dots }=3$$

이번에도 올바른 결과가 나왔다.