이차방정식

이차방정식은 미지수가 하나이고 그 미지수가 제곱된 방정식이다. 미지수의 지수가 2보다 크면 더 이상 이차방정식이 아니다.

이차방정식의 꼴

이차방정식의 기본 꼴은 다음과 같다.

$a x^{2} + b x + c = 0$

a, b, c는 실수이고 a는 0이 아니다. 각 항의 이름은 다음과 같다.

ax²을 이차항이라고 한다.
bx를 일차항이라고 한다.
c를 상수항이라고 한다.

모든 이차방정식은 등식의 성질이나 다른 변형을 이용해 기본 꼴로 바꿀 수 있다. 이차방정식의 예로 다음 방정식이 있다.

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

다음 방정식도 이차방정식인지는 조금 어려운 문제이다.

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

x²이 보이지 않고 우변이 0이 아니다. 우변은 간단히 해결된다. 7을 빼면 다음 꼴이 된다.

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

아직 x²이 없다. 괄호를 전개하면 다음을 얻는다.

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

이제 x²이 생겼다. 동류항을 정리하면 드디어 이차방정식의 기본 꼴을 얻는다.

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

다음 예는 어떨까? 이차방정식일까? 기본 꼴로 바꿀 수 있을까?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

답은 바꿀 수 없다는 것이다. 분모의 변수를 없애려고 양변에 변수 x를 곱하면 다음을 얻는다.

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

이제 x³이 생겼는데, 이차방정식에는 이런 항이 있을 수 없다.

계수 a, b, c의 값에 따라 특별한 꼴의 이차방정식이 있다.

계수의 값

다음 절들을 이해하려면 계수 a, b, c를 정확히 정할 수 있는 것이 무엇보다 중요하다. 간단한 예부터 보자. 방정식 3x² + 4x + 7 = 0의 계수를 구하시오. 간단하다. a = 3, b = 4, c = 7이다.

방정식 3x² − x + 2 = 0은 어떨까? a와 c는 분명히 a = 3, c = 2이지만 b는 무엇일까? b = 1이라고 쓰면 틀린다. x 앞에 1이 있다고 생각해 보자. 3x² − 1x + 2 = 0이다. 이제 b = −1이라는 것이 더 잘 보인다.

또 하나의 흥미로운 예는 x² − 3 = 0이다. 여기서도 계수 b가 문제가 될 수 있다. 나머지는 분명히 a = 1, c = −3이다. 계수 b의 값은 무엇일까? 이 방정식에는 일차항이 없다. 방정식을 x² + 0x − 3 = 0 꼴로 쓴 것과 같다. 따라서 b = 0이다.

더 복잡한 예를 보자.

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

이 방정식에는 함정이 두 개 있다. 상수항이 없으므로 c = 0이다. 이차항은 분명하므로 a = 5이다. 그런데 골치 아픈 b는 무엇일까? 방정식을 조금 더 바꿀 수 있다. 두 항에서 변수 x를 공통인수로 묶는다.

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

계수 b는 이번에도 변수 x “앞”에 있는 것이므로 괄호 전체가 계수 b = (3 + π)이다. 비슷한 방정식을 보자.

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

처음 두 계수는 분명하다. a = −1, b = 4이다. 상수항은 무엇일까? x가 없는 나머지 식이다. 따라서 $c = 1 - \sqrt{2}$ 이다. 근호를 두려워하지 말자. 물지 않는다. 보통의 수일 뿐이다.

그러면 방정식 (x + 1)(x + 2) = −2x의 계수는 무엇일까? 먼저 방정식을 기본 꼴로 바꿔야 한다. 괄호를 전개하면 다음을 얻는다.

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

마지막으로 우변을 0으로 만들기 위해 양변에 2x를 더한다.

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

이제 값이 분명하다. a = 1, b = 5, c = 2이다.

일차항이 없는 이차방정식

b = 0이면 일차항이 없는 이차방정식이며, 일차방정식과 비슷하게 푼다. 이 방정식의 기본 꼴은 다음과 같다.

$a x^{2} + c = 0$

b = 0이므로 0x = 0이 되어 일차항 bx 전체가 방정식에서 사라진다. 먼저 상수항을 뺀다. 즉 양변에서 c를 뺀다. 그러면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

다음으로 양변을 a로 나눈다. 그러면 다음 꼴이 된다.

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

마지막으로 양변의 제곱근을 구한다. 이때 실수 범위에서는 음수의 제곱근을 구할 수 없으므로 우변의 분수는 음수가 아니어야 한다. 결과는 다음과 같다.

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

결과가 두 개, 즉 양수 하나와 음수 하나라는 점에 주목하자. 예를 보면 더 잘 알 수 있다. 다음 방정식을 풀어 보자.

$2 x^{2} - 8 = 0.$

순서에 따라 먼저 항 c를 뺀다. 이 경우 c가 음수이므로 음수를 빼는 것, 즉 양수를 더하는 것이라는 점에 주의하자. 양변에 +8을 더한다(8을 우변으로 옮기는 것이 목표이다). 다음 꼴을 얻는다.

$2 x^{2} = 8$

순서에 따라 양변을 a, 즉 2로 나눈다. 나누면 다음 꼴이 된다.

$x^{2} = 4$

이제 제곱근을 구한다.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

왜 −2도 해일까? −2와 −2를 곱해도 4이기 때문이다. 그래프로도 확인할 수 있다. 함수 2x² − 8의 그래프는 x축과 x₁ = −2, x₂ = 2에서 만난다.

방정식 2x^2-8=0의 그래프를 이용한 풀이

다음 방정식을 푸시오.

$80 x^{2} - 5 = 0.$

양변에 5를 더한다.

$80 x^{2} = 5$

80으로 나눈다.

$x^{2} = \frac{5}{80}$

분수를 약분한다.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

제곱근을 구한다.

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

상수항이 없는 이차방정식

또 하나의 특별한 경우는 상수항 c가 0인 이차방정식이다. 이 방정식의 기본 꼴은 다음과 같다.

$a x^{2} + b x = 0$

이런 방정식은 미지수를 공통인수로 묶어서 푼다.

$x (a x + b) = 0.$

여기서 결과가 꽤 분명하게 보인다. 이번에도 근은 두 개이지만, 그중 하나는 언제나 0이다. 좌변 전체가 두 식, 즉 x와 괄호 (ax + b)의 곱이기 때문이다. 이 곱은 언제 0일까? 두 식 가운데 적어도 하나가 0일 때이다. 따라서 좌변이 0이 되는 경우는 두 가지이다.

$x = 0 또는 a x + b = 0.$

첫 번째 해 0은 이미 얻었다. 다른 해는 일차방정식 ax + b = 0을 풀어서 얻는다. 일차방정식 글에서 보았듯이 이 방정식의 해는 오직 하나이고 다음과 같다.

$x = - \frac{b}{a}$

따라서 이차방정식 ax² + bx = 0의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

예를 보자.

$6 x^{2} + 3 x = 0$

x로 묶는다.

$x (6 x + 3) = 0$

첫 번째 해는 x = 0이다. 두 번째 해는 일차방정식 6x + 3 = 0을 풀어서 구한다.

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

결과를 쓴다.

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

이번에도 그래프가 이 두 점에서 x축과 만나는 것을 볼 수 있다.

함수 6x^2+3x의 그래프

그 밖의 풀이 방법

지금까지는 특별한 꼴의 이차방정식을 푸는 기본 방법이었다. 일반적인 이차방정식은 판별식을 이용해 푼다. 이 밖에 매개변수가 있는 이차방정식도 있다.

계산기

일반적인 방정식 ax² + bx + c = 0의 계수 a, b, c를 입력하면 계산기가 판별식과 근을 구한다. 같은 계산기는 이차방정식 계산기 페이지에도 따로 있다.

목차: 이차방정식, 판별식, 매개변수가 있는 이차방정식, 허근을 갖는 이차방정식

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