원

원은 평면 위에서 한 점, 즉 원의 중심에서 같은 거리에 있는 모든 점의 집합이다. 원은 이차곡선에도 속한다.

원의 생김새

원의 그림을 보자.

원은 보통 소문자 k나 l로 나타낸다.

• 모든 원에는 중심이 있고, O로 나타낸다.
• 원 위의 모든 점은 중심 O에서 같은 거리에 있다. 이 거리를 원의 반지름이라고 하고 r로 나타낸다. 그림에서는 선분 AO이다.
• 원 위의 서로 다른 두 점을 잇는 선분을 현이라고 한다. 그림에서는 선분 FG이다.
• 중심 O를 지나는 현을 원의 지름이라고 하고 d로 나타낸다. 2r = d가 성립한다.

원의 내부와 외부도 생각한다. 원의 내부는 중심까지의 거리가 반지름보다 작은 모든 점의 집합이다. 원의 외부는 중심까지의 거리가 반지름보다 큰 모든 점이다. 원과 원의 내부를 합치면 내부를 포함한 원이 된다. (한국에서는 둘 다 흔히 원이라고 부른다.)

둘레와 넓이

원의 지름과 둘레 사이에는 어떤 관계가 있을까? 원의 둘레는 지름의 몇 배일까? 둥근 물건을 하나 골라 지름과 둘레를 재어 보면 약 세 배라는 것을 알 수 있다. 더 정확히는 3.1415배, 엄밀하게는 π배이다.

수 π(파이라고 읽는다)를 원주율이라고 한다. 원주율은 무리수, 즉 소수점 아래가 순환하지 않고 끝없이 이어지는 수이다. 그래서 원의 지름이 어떤 정수로 정해져 있으면 그 둘레는 결코 완전히 정확하게 알 수 없다. 하지만 실생활에서는 근삿값만 알아도 충분하다.

원의 둘레 공식은 다음과 같다.

$$l=\pi d=2\pi r$$

원의 넓이 공식은 다음과 같다.

$$S=\pi r^2$$

두 원의 위치 관계

• 동심원은 중심 O가 같다.

중심이 같지 않은 두 원도 있다. 두 원의 중심을 잇는 선분을 중심선이라고 한다.

• 원 k₁이 원 k₂의 외부에 있다. 두 원은 공통인 점이 없다.

• 원 k₁이 원 k₂의 외부에 있으면서 한 점에서 만난다(외접).

• 두 원이 두 점에서 만난다.

• 원 k₁이 원 k₂의 내부에 있으면서 한 점에서 만난다(내접).

• 원 k₁이 원 k₂의 내부에 있다.

호

양 끝 점이 A와 B인 현은 원을 두 부분으로 나눈다. 이 두 부분을 호라고 한다. 점 A와 B를 뺀 원 위의 모든 점은 두 호 가운데 하나의 안쪽 점이다. 호는 예를 들어 AXB로 나타낸다. 여기서 X는 호의 안쪽 점이다.

현이 지름이기도 하면 원을 합동인 두 호로 나누고, 이를 반원이라고 한다. 그렇지 않으면 원은 언제나 크기가 다른 두 호로 나뉜다.

중심각

중심이 점 O인 원 k와 호 AB가 있다고 하자. 이때 각 AOB를 호 AB에 대한 중심각이라고 한다. 작은 호에 대한 중심각은 180°보다 작고, 큰 호에 대한 중심각은 180°보다 크다.

그림의 원에는 두 호 AB가 표시되어 있다. 큰 호에 대한 중심각은 α이고 작은 호에 대한 중심각은 β이다.

원주각

중심이 점 O인 원 k와 호 AB가 있다고 하자. 그리고 이 호에 속하지 않으면서 원 위에 있는 점 V를 잡자. 이때 각 AVB를 원주각이라고 한다.

그림에는 두 원주각 AV₁B와 AV₂B가 있다. 두 원주각의 크기가 60°로 같고, 이 크기가 중심각 120°의 절반이라는 것에 주목하자.