직사각형

직사각형은 내각이 모두 90도, 즉 직각인 평행사변형이다. 직사각형에서 마주 보는 변은 언제나 길이가 같다. 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같은 특별한 직사각형이다.

기본 설명

먼저 그림을 보자. 그림의 직사각형은 꼭짓점 A, B, C, D로 이루어져 있으므로 직사각형 ABCD이다. 변은 AB, BC, CD, DA의 네 개이다. 마주 보는 변은 언제나 길이가 같고, 그 길이를 a와 b로 나타낸다. 그림에서 변의 길이는 표시된 대로 5와 3이다.

네 변의 길이가 모두 같다면, 즉 a = b이면 이것도 직사각형이지만 보통은 정사각형이라고 부른다. 정사각형은 직사각형의 특별한 경우일 뿐이다.

대각선

모든 직사각형에는 대각선이 두 개 있다. 대각선은 이웃하지 않은 두 꼭짓점을 잇는 선분이다. 그림에서는 선분 AC와 BD이고, d₁과 d₂로도 표시되어 있다. 두 대각선은 언제나 길이가 같다. 또 언제나 직사각형의 어느 변보다도 길다. 대각선의 다른 성질은 다음과 같다.

• 피타고라스 정리에 따라 대각선의 길이는 $d=\sqrt{a^2+b^2}$이다.
• 정사각형과 달리 두 대각선은 서로 수직이 아니다.
• 대각선 하나는 직사각형을 이등분한다. 두 대각선은 직사각형을 네 부분으로 나눈다.
• 두 대각선은 서로를 이등분한다. 직사각형의 중심을 (그림처럼) 점 O라고 하면 선분 AO의 길이는 선분 CO의 길이와 같다.

둘레와 넓이

둘레는 직사각형의 테두리의 길이, 즉 네 변의 길이의 합 a + b + a + b이다. 그런데 마주 보는 두 변은 언제나 길이가 같으므로 둘레를 2 · a + 2 · b로 계산할 수 있다.

직사각형의 넓이는 직사각형이 차지하는 부분의 크기이다. 한 변의 길이에 그 변과 이웃한 다른 변의 길이를 곱해서 구한다. 즉 직사각형의 넓이는 a · b이다. 다시 한 번 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rcl}(\text{둘레})l& =& 2\cdot a+2\cdot b\\ (\text{넓이})S& =& a\cdot b\end{array}$$

다음 그림은 먼저 둘레, 즉 빨간 선분의 길이의 합을, 그다음 넓이, 즉 색칠한 부분을 나타낸다.

외접원과 내접원

정사각형처럼 직사각형에도 외접원이 있다. 외접원의 중심은 직사각형의 중심(무게중심)이고, 반지름은 대각선 길이의 절반이다. 외접원은 직사각형의 모든 꼭짓점을 지난다. 하지만 정사각형과 달리 직사각형에는 내접원이 없다. 물론 직사각형이 정사각형이기도 한 경우는 예외이다.