정사각형
정사각형은 네 변의 길이가 같고 내각이 모두 90도인 기본 도형이다. 완전제곱식으로 고치기라는 방법도 있다.
정사각형의 생김새
다음 그림에서 정사각형의 예를 볼 수 있다.
모든 정사각형에는 꼭짓점이 네 개 있다. 이 정사각형의 꼭짓점은 A, B, C, D이고, 그림에 파란색으로 표시되어 있다. 이때 정사각형 ABCD라고 한다. 꼭짓점들은 선분으로 이어져 정사각형의 네 변을 이룬다. 변은 AB, BC, CD, DA이다. 그림에서는 굵은 선으로 나타냈다. 이 변들은 모두 길이가 같고, 그 길이는 5이다.
각 변은 이웃한 변과 직각, 즉 90도를 이룬다.
정사각형의 대각선
초록 선분은 대각선이다. 모든 정사각형에는 대각선이 두 개 있고, 이 정사각형의 대각선은 AC와 DB이다. 즉 대각선은 마주 보는 두 꼭짓점을 잇는 선분이다. 대각선에 관한 다른 사실은 다음과 같다.
- 대각선은 언제나 정사각형의 변보다 길다.
- 더 정확히 말하면, 정사각형의 한 변의 길이가 a이면 대각선 d의 길이는
- 두 대각선은 언제나 정사각형의 중심(무게중심)에서 만난다.
- 대각선 하나는 정사각형을 이등분한다. 두 대각선은 정사각형을 네 등분한다.
- 두 대각선은 서로를 이등분한다. 정사각형의 중심을 (그림처럼) 점 O라고 하면 선분 AO의 길이는 선분 CO의 길이와 같다.
- 대각선은 이웃한 두 변 사이의 각을 이등분한다. 예를 들어 그림에서 각 ABC는 90도이고 각 ABD는 45도이다.
- 두 대각선은 서로 수직이다.
둘레와 넓이
둘레는 정사각형의 테두리의 길이, 즉 모든 변의 길이의 합이다. 그래서 정사각형의 한 변의 길이가 a이면 둘레는 4 · a이다. 넓이는 정사각형이 차지하는 부분의 크기이다. 한 변의 길이에 이웃한 변의 길이를 곱하면 된다. 그런데 정사각형은 모든 변의 길이가 같으므로 그냥 a · a를 계산하면 된다. 다시 한 번 정리하면 다음과 같다.
예를 들어 앞의 그림의 정사각형은 둘레가 4 · 5 = 20이고 넓이가 5 · 5 = 25이다.
정사각형의 위치
다음 도형은 정사각형일까?
이 도형은 정사각형이다. 변이 네 개이고, 모두 길이가 같으며, 각 변이 이웃한 변과 직각을 이루기 때문이다. 정사각형은 돌려도 여전히 정사각형이다. 하지만 예를 들어 각의 크기를 바꾸면 더 이상 정사각형이 아니다.
꼭짓점이 네 개이고 네 변의 길이가 같지만, 모든 각이 직각은 아니므로 정사각형이 아니다.
정사각형 그리기
정사각형은 쉽고 간단하게 그릴 수 있다. 알아야 할 것은 한 변의 길이뿐이다. 한 변의 길이가 예를 들어 3 cm이면, 먼저 길이가 3 cm인 선분을 그린다. 양 끝 점을 꼭짓점 A와 B라고 한다(이름은 마음대로 붙여도 된다). 그다음 자로 직각을 재어 점 A와 B에서 원하는 쪽으로 수직인 선분을 두 개 그린다. 이 선분의 길이도 3이다. 새로 생긴 점을 C와 D라고 한다. 마지막으로 점 C와 D를 선분으로 잇는다.
외접원과 내접원
외접원과 내접원은 정사각형과 함께 자주 나오는 개념이다. 두 원의 중심은 모두 정사각형의 중심, 즉 두 대각선의 교점이다.
외접원은 정사각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이다. 반지름은 AO이고, 여기서 A는 정사각형의 (아무) 꼭짓점이고 O는 중심이다.
내접원은 정사각형의 모든 변에 접하는 원이다. 반지름은 a/2이고, 여기서 a는 정사각형의 한 변의 길이이다.
제곱미터
넓이의 기본 단위인 제곱미터도 정사각형과 관련이 있다. 무슨 뜻일까? 어떤 것의 넓이가 1제곱미터라고 하면, 그 넓이는 한 변의 길이가 1 m인 정사각형의 넓이와 같다는 뜻이다. 넓이가 10제곱미터인 방이 있으면, 한 변이 1 m인 정사각형이 그 방에 열 개 들어간다는 뜻이다. 한 변의 길이가 10 m인 정사각형의 넓이라는 뜻이 아니니 주의하자! 다음 그림이 이를 한눈에 보여 준다.
한 변의 길이가 10 m인 정사각형의 넓이는 1아르(a)이다. 한 변의 길이가 100 m인 정사각형의 넓이는 1헥타르(ha)이다.