넓이와 부피

혹시 모르는 사람을 위해 먼저 이론을 아주 짧게 정리하자. 도형의 둘레는 모든 변의 길이의 합이고, 미터나 그로부터 나온 단위로 나타낸다. 둘레는 보통 문자 l로 나타낸다. 도형의 넓이는 도형이 차지하는 평면 부분의 크기이고, 제곱미터로 계산한다. 수학에서는 제곱미터를 위 첨자 2를 써서 m²로 나타낸다. 넓이는 보통 문자 S로 쓴다. 부피는 입체도형이 차지하는 공간의 크기이다. 간단히 말해 그 안에 물을 얼마나 부을 수 있는지를 나타낸다. 부피는 세제곱미터나 그로부터 나온 단위로 계산하고, 공간의 단위는 위 첨자 3을 써서 m³로 나타낸다. 부피는 보통 문자 V로 쓴다. 넓이와 부피는 다른 단위(일상에서는 아마 이쪽을 더 자주 쓸 것이다)로도 나타낼 수 있다. 넓이에는 아르나 헥타르, 부피에는 리터가 있다. 일반적으로 넓이나 부피는 적분으로 계산할 수 있다.

정사각형과 직사각형

두 도형은 모두 2차원이므로 둘레와 넓이만 있다. 정사각형은 정의에 따라 모든 변의 길이가 같으므로 가장 간단하다. 그래서 정사각형의 둘레를 구하려면 한 변의 길이에 4(변의 개수)를 곱하면 된다. l=4a이다. 직사각형의 둘레는 아주 조금 더 복잡하다. 직사각형은 언제나 두 쌍의 변의 길이가 같으므로 방법이 두 가지 있다. 모든 변을 그냥 더하거나, 길이가 다른 두 변의 길이에 각각 2를 곱해서 더한다. l=2a+2b이다.

정사각형의 넓이도 둘레보다 어렵지 않다. 한 변의 길이에 다른 변의 길이를 곱한다. 정사각형은 모든 변의 길이가 같으므로 공식은 S = a·a = a²이다. 직사각형도 정사각형과 똑같다. 다만 직사각형은 모든 변의 길이가 같지는 않으므로, 서로 수직인 길이가 다른 두 변을 곱해야 한다. S=a·b이다.

평행사변형

평행사변형은 직사각형과 비슷하지만 마주 보는 두 변이 비스듬히 기울어진 도형이다. 이 단락 아래의 그림을 보자. 평행사변형의 둘레는 간단하고, 기본적으로 직사각형과 같다. l=2a+2b이다. 하지만 넓이는 조금 더 흥미롭다. 평행사변형의 넓이를 구하려면 평행사변형을 직사각형으로 바꿔야 한다. 그러지 않으면 구할 수 없다. 직사각형으로 바꾸는 방법은 다음 그림과 같다.

먼저 평행사변형에서 튀어나온 부분(색칠한 부분)을 잘라 내어 반대쪽에 붙인다. 그러면 직사각형이 된다.

이제야 평행사변형의 넓이를 쉽게 구할 수 있다. 공식은 직사각형과 같다. 하지만 그림으로 바꾸는 것은 번거로우므로, 이 변형에서 나온 간단한 공식을 쓴다. 변 a는 직사각형과 평행사변형에서 같고, 다른 변만 다르다. 그래서 평행사변형에서는 변 b 대신 평행사변형의 높이를 쓴다. 이 높이는 바꾼 직사각형의 변 b와 같다. 다음 그림이 이를 보여 준다(빨간색으로 표시한 두 변을 곱한다).

공식은 S=h_a·a이다.

사다리꼴

둘레는 분명하다. 모든 변의 길이를 더한다. 사다리꼴의 넓이는 좀 더 까다롭다. 이론상으로는 평행사변형과 같은 방법을 쓸 수 있지만, 긴 변(AB)을 써야 할지 짧은 변(CD)을 써야 할지 알 수 없다.

그래서 요령을 쓴다. 평행한 두 변의 길이의 평균을 구해서 그것으로 계산한다. 즉 변 AB와 CD의 길이를 더해 2로 나누고, 평행사변형처럼 높이를 곱하면 넓이가 나온다. S=(a+c)/2 · h_a이다.

삼각형

삼각형은 2차원 도형이므로 둘레와 넓이를 구할 수 있지만 부피는 없다. 삼각형의 둘레는 모든 변의 길이를 더해서 구한다. 일반적인 공식은 l=a+b+c이다. 물론 특별한 경우도 있다. 예를 들어 정삼각형은 모든 변의 길이가 같으므로 한 변의 길이만 알면 되고, 그것에 3을 곱하면 된다. 그러면 공식은 l=3a이다.

삼각형의 넓이를 구하려면 작은 변형이 하나 필요하다. 삼각형의 넓이를 구하려면 삼각형을 평행사변형으로 바꿔야 한다(평행사변형을 직사각형으로 바꾼 것과 비슷하다). 삼각형을 평행사변형으로 바꾸는 방법은 이번에도 다음 그림과 같다.

이 그림을 보면 삼각형의 넓이를 구하는 방법이 분명해진다. 평행사변형의 넓이를 구하는 것과 같은 방법으로 계산하고, 결과를 2로 나누면 된다. S=(h_c·c)/2이다.

원

원은 둘레도 넓이도 소수로 정확히 쓸 수 없다는 점에서 특별하다. 원으로 무엇을 계산하든 원주율 π가 빠지지 않는다. π는 소수점 아래로 끝없이 이어지는 무리수이지만, (계산기에 값이 저장되어 있지 않다면) 보통 근삿값 3.14로 계산한다.

이제 공식으로 넘어가자. 옛날 사람들도 원의 둘레, 즉 원 자체의 길이를 구하는 방법을 궁리했다. (원을 둘레의 곡선만 뜻하는 말로 쓰면 원에는 안쪽이 없으므로 넓이도 없다. 넓이를 말할 때는 원의 안쪽까지 포함한다.) 원의 지름(쉽게 잴 수 있다)과 둘레의 비가 언제나 같다는 것이 알려졌고, 시간이 지나면서 원의 둘레가 지름의 몇 배인지도 계산되었다. 놀랍게도 그 값은 π이다. 그래서 원의 둘레는 l=π·d=2·π·r로 구한다(보통 반지름을 지름보다 더 자주 알기 때문에 두 번째 공식을 더 많이 쓴다). 여기서 d는 지름이고 r은 반지름이다.

원의 넓이는 S=π·r²이다. 더 덧붙일 말이 없다 :-).

정육면체와 직육면체

처음 나오는 입체도형이므로 겉넓이와 부피를 구한다. 정육면체는 면이 여섯 개이고 모든 면이 정사각형이므로 방법은 분명하다. 한 면의 넓이를 구해서 6을 곱한다. S=6a²이다. 직육면체는 서로 다른 면이 여러 개이므로 조금 더 오래 걸린다. 기본적으로 서로 다른 세 면의 넓이를 구해 더하고 2를 곱하면 직육면체의 겉넓이가 된다. S=(a·b + b·c + a·c)·2이다.

정육면체의 부피는 정사각형의 넓이와 똑같이 구한다. 다만 공간에서 생각한다는 것을 잊으면 안 된다. 한 모서리의 길이를 세제곱하면 된다. V=a³이다. 직육면체도 비슷하지만 세 모서리의 길이가 다르므로 각각 곱해야 한다. V=a·b·c이다.

구

구의 겉넓이(구면의 넓이)는 S=4·π·r²이고, 구의 부피는 V=4/3·π·r³이다. 구의 부피를 구하는 꽤 복잡한 과정을 읽고 싶다면 카발리에리의 원리를 보자.

원기둥

원기둥의 겉넓이는 두 밑면의 넓이와 옆면의 넓이를 더해서 구한다. 밑면은 보통의 원이므로 밑면 하나의 넓이는 원의 넓이와 같다. 즉 밑면 하나의 넓이는 다음과 같다.

$$S_p=\pi \cdot r^2$$

원기둥의 옆면은 “둘둘 만” 직사각형일 뿐이다. 한 변의 길이는 원기둥의 높이(h로 나타낸다)이고, 다른 변의 길이는 밑면의 원의 둘레이다. 그래서 옆면의 넓이는 다음과 같다.

$$S_s=h\cdot 2\pi r$$

따라서 원기둥 전체의 겉넓이는 다음과 같다.

$$S=2\cdot S_p+S_s=2\pi r^2+2h\pi r=2\pi r(r+h)$$

원기둥의 부피는 더 간단하다. 높이에 밑넓이를 곱한 것이다. 밑넓이는 앞 단계에서 이미 구했다. 결과는 다음과 같다.

$$V=h\cdot \pi r^2$$

각뿔과 원뿔

각뿔의 겉넓이는 일반적으로 밑면의 넓이와 모든 옆면의 넓이를 더해서 구한다. 이에 대한 일반적인 공식은 따로 없다. 각뿔의 부피는 삼각형의 넓이를 구하는 것과 비슷한 데가 있다. 밑넓이에 각뿔의 높이를 곱하고, 그 결과를 3으로 나누면 각뿔의 부피가 된다. V=(S_p · h)/3이고, 여기서 S_p는 밑넓이이다.

원뿔의 겉넓이는 밑넓이와 옆넓이의 합이다. 밑넓이는 분명하다. 보통의 원이므로 S=π·r²이다. 옆넓이는 조금 더 복잡하다. 옆면을 탁자 위에 “펼친다”고 상상해야 한다. 그러면 부채꼴이 생기고, 그 넓이는 S=π·r·l이다. 여기서 l은 모선의 길이(원뿔의 꼭짓점에서 밑면의 둘레까지의 거리로, 각뿔의 모서리와 비슷하다)이다. 원뿔의 부피는 V=(π · r² · h)/3이고, 여기서 h는 원뿔의 높이이다.

넓이 예제

다음 도형의 넓이를 구하시오(축의 눈금 단위는 미터라고 하자).

언뜻 보아도 이 도형은 일반적인 다각형이라서 전체에 한꺼번에 쓸 수 있는 공식이 없다. 그래서 넓이를 구할 수 있는 작은 부분으로 나누어야 한다. 아래쪽을 삼각형으로, 위쪽을 사다리꼴로 나누는 것이 가장 쉽다. 나눈 모습은 다음 그림과 같다.

이제 공식 S=(a · h_a)/2로 삼각형 ABE의 넓이를 구한다. 이 경우 변 a는 변 AE이고, 이 변에 대한 높이는 변 EB이다. AE=3 m이고 EB=1 m임을 알 수 있다. 공식에 대입하면 S=(3 · 1)/2=1.5 m²이다.

두 번째로 공식 S=(a+c)/2 · h_a로 사다리꼴의 넓이를 구한다. 이 경우 변 a는 변 AE이고 변 c는 변 DC이다. 높이도 그림에서 쉽게 읽을 수 있다. 선분 EC의 길이이다. 공식에 대입하면 S=(3+2)/2 · 2=5 m²이다.

두 중간 결과를 더하기만 하면 도형의 넓이가 나온다. S=1.5 m² + 5 m² = 6.5 m²이다.

다음 도형의 넓이를 구하시오(축의 눈금 단위는 미터라고 하자).

이번에도 공식 하나로는 안 되고 도형을 어떤 식으로든 바꿔야 한다는 것을 언뜻 보아도 알 수 있다. 다음과 같이 계산한다. “정사각형”의 넓이를 구하고, 원의 넓이의 4분의 3을 더하고, 왼쪽 아래의 작은 삼각형을 뺀다.

정사각형의 넓이는 간단히 구할 수 있다. S₁ = 2 · 2 = 4 m²이다. 두 번째로 원의 넓이를 구한다. 이번에도 공식에 대입해서 S₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4를 얻는다. 이제 삼각형 DEI의 넓이를 구해서 정사각형의 넓이에서 빼기만 하면 된다. 변 EI와 그 변에 대한 높이 DI는 길이가 모두 1 m이므로 삼각형의 넓이는 S₃ = ½이다.

마지막으로 중간 결과를 더하고 뺀다. S = S₁ + S₂ − S₃ = 3.5 m² + 3π/4 m²이다.