피타고라스 정리

피타고라스 정리는 아마 수학에서 가장 유명한 정리일 것이다. 사모스의 피타고라스에 대해서는 다른 곳에서 읽을 수 있다. 여기서는 바로 삼각형으로 들어가자.

삼각형의 변 위의 정사각형의 넓이

피타고라스 정리는 직각삼각형의 변으로 만든 정사각형의 넓이 사이의 유용한 관계를 알려 준다. 다음과 같은 직각삼각형이 있다고 하자.

배경의 모눈이 삼각형의 크기를 알려 준다. 직각을 낀 변 AC의 길이는 4이고 직각을 낀 변 BC의 길이는 3이다. 그러면 변 AB, 즉 삼각형의 빗변의 길이는 얼마일까? 언뜻 봐서는 알 수 없다. 하지만 계산해 볼 수는 있다.

먼저 변 BC 위에 정사각형을 그린다. 즉 모든 변의 길이가 변 BC의 길이와 같은, 3인 정사각형을 그린다. 그림으로 나타내면 다음과 같다.

모든 변의 길이가 3인 정사각형 BCDE가 생겼다. 이 정사각형의 넓이는 얼마일까? 정사각형의 넓이는 두 변의 길이를 곱해서 구하므로 정사각형 BCDE의 넓이는 3 · 3 = 9이다. 이번에는 직각을 낀 다른 변 AC 위에 정사각형을 그린다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 4이다.

이 정사각형의 넓이는 4 · 4 = 16이다. 이제 마지막 정사각형을 빗변 AB 위에 그린다.

변 AB의 길이를 모르므로 이 새 정사각형의 넓이도 아직 모른다. 하지만 여기서 피타고라스 정리를 멋지게 써먹을 수 있다. 피타고라스 정리에 따르면 마지막 정사각형 ABHI의 넓이는 앞의 두 정사각형의 넓이의 합과 같다. 앞의 두 정사각형의 넓이는 9와 16이므로, 피타고라스 정리에 따라 마지막 정사각형의 넓이는 9 + 16 = 25이다. 그림에 써 넣자.

이제 마지막 질문에 답하기만 하면 된다. 정사각형 ABHI의 넓이가 25이면 이 정사각형의 한 변의 길이는 얼마일까? 25의 양의 제곱근이어야 하므로 변 AB의 길이는 $\sqrt{25}=5$이다. 거꾸로 한 변의 길이가 5인 정사각형의 넓이를 구해 확인하면 5 · 5 = 25를 얻는다. 이제 수와 정의로 들어가 보자.

정리의 내용

피타고라스 정리는 대략 이렇다. “직각삼각형의 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 직각을 낀 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.” 수학에서는 이 정리를 보통 다음과 같이 쓴다.

$$c^2=a^2+b^2,$$

여기서 a와 b는 삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이이고 c는 빗변의 길이이다.

그러면 피타고라스 정리는 무엇을 말하고, 이 식은 앞의 그림과 어떻게 이어질까? 삼각형의 변 위의 정사각형의 넓이란, 한 변의 길이가 그 변의 길이와 같은 정사각형을 생각하고 그 넓이를 구한다는 뜻이다. 정사각형의 넓이는 한 변의 길이에 다른 변의 길이를 곱해서 구하므로, 한 변의 길이가 c이면 넓이 S는 S = c · c이고, 이를 거듭제곱으로 S = c²이라고 쓸 수 있다.

따라서 c² = a² + b²이라는 식은 “한 변의 길이가 c인 정사각형의 넓이는 한 변의 길이가 a, b인 두 정사각형의 넓이의 합과 같다”라고 읽을 수 있다.

다시 한 번 강조하지만, 이 정리는 일반적인 삼각형이 아니라 직각삼각형에서만 성립한다. 피타고라스 정리는 흔히 두 변의 길이를 알고 나머지 한 변의 길이를 구해야 할 때 쓴다. 직각을 낀 두 변 a와 b의 길이를 알고 빗변 c의 길이를 구하려면, 직각을 낀 두 변 위의 정사각형의 넓이, 즉 a² + b²을 계산한다. 이렇게 하면 빗변 c 위의 정사각형의 넓이, 즉 c²을 얻는다. 변 c의 길이는 이 넓이의 양의 제곱근을 구하기만 하면 된다. 그러면 다음 공식을 얻는다.

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

여기서 c는 빗변의 길이이고 a, b는 직각을 낀 두 변의 길이이다. 반대로 빗변과 직각을 낀 한 변의 길이를 알고 직각을 낀 나머지 변의 길이를 구하려면, 같은 방법으로 계산하되 먼저 그 변을 식의 한쪽으로 모은다. 즉 c와 b를 알고 a를 구하려면, 다음 식에서

$$c^2=a^2+b^2,$$

b²을 빼서 a²만 남긴다.

$$c^2-b^2=a^2,$$

좌변과 우변을 바꾼다.

$$a^2=c^2-b^2$$

마지막으로 양의 제곱근을 구한다.

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

첫 번째 예제

삼각형 ABC에서 두 변의 길이 a = 3, b = 4를 알고 있다. 처음에 본 삼각형과 같은 삼각형이다. 나머지 변 c의 길이는 얼마일까? 앞의 공식으로 계산해 보자. 삼각형은 다음 그림과 같다.

직각을 낀 두 변의 길이를 알고 빗변의 길이를 모른다. 그래서 바꾸지 않은 첫 번째 공식을 쓴다.

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

변수 a와 b에 변의 길이를 대입한다.

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

공식에 제곱이 있다. 다시 떠올려 보면 다음과 같다.

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

제곱을 계산하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

변 c의 길이는 5이다.

두 번째 예제

이번에는 직각을 낀 한 변과 빗변의 길이를 알 때 직각을 낀 다른 변의 길이를 구해 보자. 삼각형 ABC의 두 변의 길이가 $\overline{AC}=10$, $\overline{BC}=6$이다. 삼각형은 다음 그림과 같다.

그림에서 빗변, 즉 가장 긴 변은 변 AC이다. 변 AB의 길이를 구해야 한다. 직각을 낀 변의 길이를 구하는 두 번째 공식에 대입한다.

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

피타고라스 정리를 올바르게 쓰려면 이제 각 변수가 무엇을 나타내는지 생각해야 한다. 이 공식에서 변수 a는 구하려는 변의 길이로, 이 경우에는 변 AB이다. 변수 c는 빗변, 즉 가장 긴 변의 길이로, 이 경우에는 변 AC이다. 그리고 변수 b는 길이를 아는 직각을 낀 변으로, 이 경우에는 변 BC이다. 그래서 공식에 다음과 같이 대입한다.

$$\overline{AB}=\sqrt{{\overline{AC}}^2-{\overline{BC}}^2}$$

알고 있는 변의 길이를 대입한다.

$$\overline{AB}=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

제곱을 계산하고 뺀다.

$$\overline{AB}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

마지막으로 제곱근을 구한다.

$$\overline{AB}=8$$

변 AB의 길이는 8이다.

문장제

곧은 길을 따라 친구 집에 간다고 하자. 그 길의 길이는 250 m이다. 250 m를 간 다음 왼쪽으로 꺾어 100 m를 더 가면 친구 집이다. 밭을 가로질러 곧장 가면 길이 얼마나 짧아질까?

먼저 도로를 따라 갈 때의 거리를 구한다. 250 m를 곧장 가고 그다음 왼쪽으로 100 m를 간다. 모두 250 + 100 = 350 m이다. 이제 밭을 가로지르는 길의 길이를 구할 차례이다. 그러려면 그림이 필요하다.

그림의 한 칸은 50 m이다. 밭을 가로질러 곧장 가는 길은 어떻게 될까? 점 A에서 점 C까지의 선분이다. 그림에 빨간색으로 그려 넣자.

이제 밭을 가로지르는 길의 길이를 구하려면 피타고라스 정리를 알맞게 쓰기만 하면 된다는 것을 알 수 있다. 빗변의 길이를 구하고 직각을 낀 두 변의 길이를 알고 있으므로 첫 번째 공식을 쓰고 다음과 같이 대입한다.

$$\overline{AC}=\sqrt{{\overline{AB}}^2+{\overline{CB}}^2}$$

길이를 대입한다.

$$\overline{AC}=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

제곱을 계산한다.

$$\overline{AC}=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

제곱근을 구하고 반올림한다.

$$\overline{AC}=269$$

밭을 가로지르는 길의 길이는 269 m이다. 아직 끝이 아니다. 질문은 밭을 가로지르는 길이 얼마나 짧으냐였다. 그래서 두 길이의 차를 구한다. 차를 r이라고 하자.

$$r=350-269=81$$

밭을 가로지르면 길이 약 81 m 짧아진다.

정사각형의 한 변의 길이

대각선의 길이가 10인 정사각형의 한 변의 길이는 얼마일까? 피타고라스 정리가 여기에 어떻게 도움이 될까? 정사각형 안에서 정사각형의 한 변의 길이를 구하는 데 쓸 직각삼각형을 찾아야 한다. 다시 떠올려 보면, 정사각형은 네 변의 길이가 같다. 지금 상황을 그려 보자.

정사각형 안에 직각이 있는 삼각형이 두 개 생겼다는 것을 알 수 있다. 이 삼각형으로 한 변의 길이를 구할 수 있다. 예를 들어 삼각형 BCD를 보자. 변 DB는 빗변이고 나머지 두 변은 직각을 낀 변이다. 직각을 낀 두 변의 길이는 모르지만 빗변의 길이는 안다. 직각을 낀 두 변은 길이가 같다. 즉 $\overline{BC}=\overline{CD}$이다. 기본적인 피타고라스 정리를 쓴다.

$${\overline{BD}}^2={\overline{BC}}^2+{\overline{CD}}^2$$

그런데 직각을 낀 두 변의 길이가 같으므로, 한 변의 제곱을 구해서 2를 곱하면 된다. 두 변을 각각 제곱할 필요는 없다. 길이가 같으므로 결과도 같기 때문이다. 그래서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$${\overline{BD}}^2=2\left({\overline{BC}}^2\right)$$

빗변인 변 BD의 길이는 10이다. 식에 대입한다.

$${10}^2=2\left({\overline{BC}}^2\right)$$

10을 제곱한다.

$$100=2\left({\overline{BC}}^2\right)$$

2로 나눈다.

$$\frac{100}{2}={\overline{BC}}^2$$

분수를 약분한다.

$$50={\overline{BC}}^2$$

거의 다 왔다. 정사각형의 한 변의 길이의 제곱이 50이라는 것을 알았다. 한 변의 길이를 구하려면 양변의 제곱근을 구해야 한다. 양수만 다루므로 그렇게 해도 된다.

$$\sqrt{50}=\sqrt{{\overline{BC}}^2}$$

50의 제곱근은 이대로 두고, 우변에서는 제곱근과 제곱이 서로 상쇄되므로 없앨 수 있다.

$$\sqrt{50}=\overline{BC}$$

원한다면 50의 제곱근도 계산할 수 있다. 반올림하면 7이 나온다.

$$7=\overline{BC}$$

정사각형의 한 변의 길이는 약 7, 정확히는 50의 양의 제곱근이다.

계산기

직각을 낀 두 변으로 빗변을, 빗변과 직각을 낀 한 변으로 다른 변을 구할 수 있다. 각 칸의 단위는 바꿀 수 있다.