각

어떤 각을 다른 곳에 똑같이 옮기고 싶다면 크기가 같은 각의 작도(각 옮기기)를 이용할 수 있다.

각이란

각의 정의는 그리 간단하지 않고, 여러 가지 정의가 있다. 하지만 이 글에서는 다음 정의로 충분하다. 각은 시작점이 같은 두 반직선으로 둘러싸인 평면의 부분이다. 이 정의에서 중요한 것은 각이 두 변만이 아니라 두 변 사이에 있는 영역 전체, 즉 평면의 부분 전체라는 점이다. 다음 그림을 보자.

하지만 앞의 그림은 완전히 정확하지는 않다. 어떤 각을 말하는지 정하지 않았기 때문이다. 각 ABC라고 하면 언뜻 앞에서 말한 영역을 떠올릴 수 있지만, 평면의 나머지 부분을 떠올릴 수도 있다.

그래서 각을 나타낼 때는 180° 이하의 각(볼록한 각)을 말하는지, 180°보다 큰 각을 말하는지 구별해야 한다. 180°보다 큰 각은 오목한 각이라고도 한다. 이를 나타내는 방법 가운데 하나가 방향을 정한 각이다.

각의 방향은 양의 방향이거나 음의 방향이다. 양의 방향은 시계 반대 방향으로, 음의 방향은 시계 방향으로 돈다. 각 ABC를 쓸 때는 반직선 BA를 먼저, 반직선 BC를 나중에 말한다. 양의 방향이면 반직선 BA에서 시작해 시계 반대 방향으로 돈다. 위의 예에서는 첫 번째 그림, 즉 180° 이하의 각이 된다. 음의 방향으로 정하면 180°보다 큰 각, 즉 두 번째 그림이 된다. 보통은 양의 방향으로 생각하고, 이 글에서도 각은 양의 방향으로 쓴다.

정리하면, 각은 각을 둘러싸는 두 변, 두 반직선이 시작되는 꼭짓점, 그리고 두 변이 둘러싼 영역으로 이루어진다. 각 ABC에서 각의 변은 BA와 BC이고 꼭짓점은 B이다.

각의 크기

선분의 길이를 잴 수 있는 것처럼 각의 크기도 잴 수 있다. 각의 크기는 익숙한 육십분법으로 재거나 호도법으로 잰다. 육십분법은 간단하다. 90°는 직각이고(예를 들어 정사각형의 내각은 모두 90°이다), 180°는 평각이고(예를 들어 서로 반대 방향인 두 반직선이 이루는 각), 360°는 한 바퀴를 도는 각(주각)이다(서로 겹치는 두 반직선이 이루는 각으로, 둘레의 평면 전체가 이 각이 된다). 1°는 다시 분(′으로 나타낸다)과 초(″로 나타낸다)로 나뉜다. 1°는 60분이고 1분은 60초이다. 1° = 60′이고 1′ = 60″이다.

각각의 각을 그림으로 보자.

호도법은 상상하기가 조금 더 어렵다. 단위가 없는 라디안으로 재기 때문이다. 라디안의 크기와 그 밖의 성질은 라디안에서 이미 설명했으니 여기서는 되풀이하지 않겠다.

각은 크기에 따라 다시 90°보다 작은 예각과 90°와 180° 사이인 둔각으로 나눌 수 있다. 이 둘은 앞에서 본 180° 이하의 각에 속한다. 180°보다 큰 각은 더 나누지 않는다.

두 각의 관계

특별한 관계에 있는 두 각에는 알아 두면 좋은 성질이 있다.

• 맞꼭지각은 꼭짓점이 같고, 각의 변이 서로 반대 방향인 반직선으로 이루어진 두 각이다. 맞꼭지각은 언제나 크기가 같다.

• 이웃한 두 각은 한 변을 함께 가지고, 나머지 두 변이 서로 반대 방향인 반직선인 두 각이다. 이웃한 두 각의 합은 언제나 180°, 즉 평각이다.

• 동위각은 첫 번째 변끼리 평행하고 두 번째 변이 한 직선 위에 있는 두 각이다. 두 각의 방향도 같아야 한다. 동위각은 크기가 같다.

다른 관계의 각도 있지만, 모두 위의 세 가지 위치 관계로부터 이끌어 낼 수 있다.

각의 계산

각으로 몇 가지 기본적인 계산을 할 수 있다. 가장 기본적인 것은 덧셈이다. 수로 계산할 때는 틀릴 일이 거의 없다. 그냥 각의 크기를 더하면 된다. 각이 360°보다 크면 보통 0° − 360° 범위 안의 더 간단한 꼴로 바꾼다. 말하자면 360진법으로 계산하는 것과 같다. 마찬가지로 문제에 분이나 초가 있으면 (보통의 시계처럼) 60진법으로 계산해야 한다.

확인을 위해 예제를 하나 풀어 보자. 두 각 α = 183° 51′과 β = 222° 24′을 더하자. 먼저 분을 더한다. 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′이다(방법은 간단하다. 75를 60으로 나누면 몫이 도의 수, 나머지가 남은 분의 수이다). 이제 도를 더한다. 183° + 222° = 405°이다. 이 중간 결과에 앞의 결과를 더하면 405° + 1° 15′ = 406° 15′이다. 이제 이 각이 0과 360 사이에 들어올 때까지 360을 뺀다. 360°의 각을 그리면 다시 처음으로 돌아오기 때문이다. 361°의 각은 종이 위에서 1°의 각과 크기가 같다. 그러면 406° 15′ = 46° 15′이 된다.