삼각형 작도하기

삼각형은 변이 세 개인 다각형이다. 변은 보통 소문자 a, b, c로 나타낸다. 삼각형에는 꼭짓점도 세 개 있고, 보통 대문자 A, B, C로 나타낸다. 변 a는 선분 BC, 변 b는 선분 AC, 변 c는 선분 AB이다. 변 a는 언제나 꼭짓점 A의 맞은편에 있고, 다른 변도 마찬가지이다.

세 변의 길이를 알 때

세 변의 길이를 모두 알면 삼각형을 그리기는 아주 쉽다. 한 변, 예를 들어 AB를 골라 보통의 선분으로 그린다. 그다음 세 번째 점이 어디에 있는지 알아내야 한다. 방법은 간단하다. 컴퍼스의 침을 점 B에 꽂고 변 BC의 길이, 예를 들어 5 cm를 반지름으로 원을 그린다. 이렇게 하면 점 B에서 5 cm 떨어진 점 C가 있을 수 있는 곳을 모두 알 수 있다. 그다음 변 AC와 점 A로 같은 일을 한다. 이제 원이 두 개 있고, 두 원의 교점은 꼭짓점 A에서도 점 B에서도 정해진 거리만큼 떨어진 점이다.

두 변과 높이를 알 때

삼각형의 각 변에는 높이가 있다. 높이는 맞은편 꼭짓점에서 그 변에 내린 수선이다. 수선이 변과 직접 만나지 않으면, 변을 수선과 만날 때까지 늘여야 한다. 따라서 높이의 기본 성질은 그 높이가 속한 변에 수직이라는 것이다. 계산 문제에서는 이 성질을 자주 이용한다. 피타고라스 정리를 쓸 수 있기 때문이다. 변 c에 대한 높이는 보통 소문자 h에 그 높이가 속한 변의 이름을 아래 첨자로 붙여 나타낸다. 즉 이 경우에는 h_c이다. 수선의 발(변과 수선의 교점)도 비슷하게 나타내되, 소문자 h 대신 대문자 P를 써서 P_c로 나타낸다.

높이는 꼭짓점 C에서 그었다. 다른 끝점은 맞은편 변 AB(즉 변 c) 위에 있고, 선분 CP_c는 변 c에 수직이다. 점 P_c를 수선의 발이라고 하고, 변 c를 밑변이라고 한다. 수선의 발은 보통 문자 P에 높이를 그은 꼭짓점을 아래 첨자로 붙여 나타낸다. 이 경우에는 꼭짓점 C이다.

높이는 꽤 쉽게 그릴 수 있다. 자를 대고 변 c에 수직이면서 점 C를 지나는 직선을 그으면 된다. 그것으로 끝이다.

높이는 삼각형의 각 꼭짓점에서 그을 수 있다. 세 높이는 한 점에서 만나는데, 이 점을 수심이라고 한다. 수심은 삼각형 안에 있을 수도 있고 없을 수도 있다. 예각삼각형에서는 수심이 삼각형 안에 있다.

두 변과 중선을 알 때

삼각형에는 높이 말고도 중선이 세 개 있다. 중선은 꼭짓점과 맞은편 변의 중점을 잇는 선분이다. 세 중선은 한 점에서 만나고, 이 점을 무게중심이라고 한다. 무게중심은 중선을 언제나 2 : 1로 나눈다. 즉 중선에서 무게중심을 기준으로 한쪽 부분의 길이는 다른 쪽 부분의 두 배이거나 절반이다. 중선은 소문자 m에 그 중선이 속한 변의 이름을 아래 첨자로 붙여 나타낸다. 무게중심은 보통 대문자 G로 나타낸다.

두 변과 그 가운데 한 변에 대한 중선을 알면 삼각형을 아주 쉽게 그릴 수 있다. 이번에도 먼저 변 AB를 그린다. 그다음 두 원을 그려 점 C의 위치를 찾는다. 첫 번째 원은 점 B(또는 길이 AC를 안다면 점 A)를 중심으로, 두 번째 원은 변 AB의 중점을 중심으로 그린다. 두 원이 만나는 점이 구하는 점 C이다. 방법은 첫 번째 경우와 같다. 다만 삼각형 ABC 대신 먼저 삼각형 M_cBC를 그려서 구하는 꼭짓점 C를 찾는다.

두 변과 다른 중선을 알 때

먼저 대략 어떤 모양이 될지 그림을 보자.

빨간색으로 표시한 것을 알고 있고, 이것으로 삼각형 전체를 그려야 한다. 방법은 다음과 같다. 이 삼각형에 부분을 덧붙여 사각형을 만들고, 그 사각형을 이용해 나머지를 그린다. 다음 그림이 이를 분명히 보여 준다(길이 BD는 길이 m_b의 두 배라는 것을 기억하자).

이 사각형은 쉽게 그릴 수 있다. 먼저 삼각형 ABD를 그린다. 변 AB의 길이는 알고 있고, 변 BD의 길이는 2m_b이며, AD의 길이는 BC의 길이와 같다. 점 C는 두 가지 방법으로 찾을 수 있다. 하나는 선분 BD의 중점 M_b를 찾은 다음 반직선 AM_b를 그리는 것이다. 길이 AC는 2AM_b이다. 다른 하나는 변 AB에 평행한 직선을 그리는 것이다. 점 C는 이 직선 위에 있고, 점 D에서 $\overline{AB}$만큼 떨어져 있다.