Penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian pecahan

Sebarang nombor nisbah boleh ditulis sebagai pecahan. Pecahan terdiri daripada dua bahagian. Bahagian atas dipanggil pengangka dan bahagian bawah dipanggil penyebut. Terdapat juga pecahan kompleks (pecahan bertingkat), iaitu pecahan yang pengangka atau penyebutnya mengandungi pecahan lain. Sebagai catatan, semua tanda di antara pecahan (tambah, tolak, sama dengan dan sebagainya) mesti ditulis sebaris dengan garis pecahan, bukan sebaris dengan pengangka atau penyebut. Oh ya, tahukah anda bahawa lima daripada empat orang menghadapi masalah dengan pecahan?

Maklumat asas

Pecahan mempunyai bentuk berikut:

$$\frac{\text{pengangka}}{\text{penyebut}}$$

Contoh pecahan ialah

$$\frac{2}{5},$$

iaitu dua perlima. Penyebut dinamakan begitu kerana penyebutlah yang menyebut nama pecahan. Perlima, pertiga, perenam… itulah nama utama pecahan, dan nama itu berasal daripada nombor di bawah garis pecahan. Pengangka pula menentukan bilangan. Dalam contoh tadi, bilangannya ialah dua perlima. Itu sahaja tentang nama.

Pengangka dan penyebut boleh mengandungi hampir sebarang nombor, malah pecahan lain. Namun, yang paling kerap kita temui ialah pecahan dengan pengangka dan penyebut yang merupakan nombor asli.

Pecahan hanyalah cara lain untuk menulis pembahagian. Nilai pecahan dikira dengan membahagi pengangka dengan penyebut. Jadi, secara am, jika kita mempunyai pecahan $\frac{a}{b}$, nilai pecahan itu ialah nombor a/b. Pecahan tadi (dua perlima) mempunyai nilai 2/5, iaitu 0.4.

Penukaran kepada sebutan terendah

Pecahan boleh diubah bentuknya dengan pelbagai cara, iaitu dengan mendarab atau membahagi pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama, tanpa mengubah nilainya. Hal ini mudah dibayangkan dengan kata-kata. Contohnya, satu perdua mempunyai nilai yang sama dengan dua perempat atau empat perlapan. Sebabnya, pecahan hanyalah pembahagian yang menyamar. Nombor satu perdua boleh diperoleh dengan membahagi beberapa pasangan nombor yang berbeza. Empat dibahagi dengan lapan ialah satu perdua. Sepuluh dibahagi dengan dua puluh juga satu perdua. Oleh itu, pecahan

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

mempunyai nilai yang sama.

Seperti yang kita lihat, kita memperoleh pecahan lain dengan nilai yang sama dengan mendarab pengangka dan penyebut pecahan asal 1/2 dengan dua. Selepas pendaraban, kita memperoleh pecahan 2/4, iaitu dua perempat. Jika pengangka dan penyebut pecahan ini juga didarab dengan dua, kita memperoleh pecahan 4/8, iaitu empat perlapan. Dalam langkah ini, kita membentuk pecahan setara.

Operasi songsangnya ialah memudahkan pecahan, iaitu membahagi pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama. Untuk memudahkan pecahan, kita perlu mencari nombor yang boleh membahagi tepat kedua-dua pengangka dan penyebut. Dalam praktik, langkah memudahkan pecahan sangat kerap digunakan kerana pecahan menjadi jauh lebih ringkas dan lebih mudah digunakan. Jika kita mempunyai pecahan 12/18, sekali pandang kita dapati bahawa kedua-dua nombor ialah nombor genap, jadi boleh dibahagi dengan dua. Sudah tentu kita boleh memudahkan pecahan itu dengan dua, tetapi pada pandangan kedua kita dapati bahawa pengangka dan penyebut juga boleh dibahagi dengan enam. Jika kita membahagi dengan enam, kita memperoleh pecahan yang lebih ringkas berbanding jika kita membahagi dengan dua sahaja. Oleh itu, kita permudahkan pecahan itu dengan enam. Hasilnya ialah pecahan 2/3.

Pecahan ini tidak lagi dapat dipermudahkan. Tiada nombor (lebih besar daripada satu) yang boleh membahagi tepat kedua-dua pengangka dan penyebut. Pecahan yang tidak lagi dapat dipermudahkan dikatakan berada dalam sebutan terendah. Cuba sentiasa gunakan pecahan dalam sebutan terendah. Setiap kali anda bekerja dengan pecahan, semak dahulu sama ada sebahagian pecahan boleh dipermudahkan. Anda akan menjimatkan masa. Satu lagi contoh:

$$\frac{24}{42}$$

Nombor apakah yang boleh membahagi 24 dan 42 serentak? Kedua-duanya nombor genap, jadi sudah tentu dua. Bahagikan pengangka dan penyebut dengan dua:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Adakah nombor yang boleh membahagi kedua-dua nombor ini serentak? Ya, kali ini tiga.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Adakah masih ada nombor yang boleh membahagi pengangka dan penyebut? Tiada. Pecahan ini berada dalam sebutan terendah.

Pendaraban pecahan

Mungkin anda terkejut, tetapi pendaraban dan pembahagian pecahan lebih mudah daripada penambahan dan penolakan. Untuk mendarab dua pecahan, darab sahaja pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua, dan penyebut dengan penyebut. Itu sahaja. Contoh pendaraban pecahan:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Dalam pendaraban pecahan, terdapat satu lagi cara memudahkan pecahan. Anda tidak semestinya memudahkan dalam satu pecahan sahaja, tetapi boleh memudahkan secara bersilang. Jika pengangka pecahan pertama dan penyebut pecahan kedua boleh dipermudahkan, anda boleh berbuat demikian untuk memudahkan pendaraban. Contoh (nombor yang dipermudahkan ditandakan):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Apakah yang telah kita lakukan? Kita bahagikan empat dan lapan dengan empat. Nilai hasil darab tidak berubah. Jika kita tidak memudahkannya sekarang, kita boleh memudahkannya selepas pendaraban.

Pendaraban pecahan dengan integer boleh ditukarkan kepada pendaraban dua pecahan dengan menulis integer c sebagai c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Seperti yang kita lihat, jika pecahan didarab dengan integer, kita hanya perlu mendarab pengangka pecahan itu dengan integer tersebut.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Pembahagian pecahan

Pembahagian pecahan hampir sama dengan pendaraban. Untuk membahagi satu pecahan dengan pecahan lain, terbalikkan pecahan kedua (pembahagi) dan darab kedua-dua pecahan seperti biasa. Contoh mudah pembahagian pecahan (perhatikan bahawa selepas pecahan diterbalikkan, kita boleh memudahkan 12 dan 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Kita menukarkan pembahagian kepada pendaraban dengan menterbalikkan pecahan $\frac{6}{11}$ menjadi $\frac{11}{6}$ dan mendarabnya dengan pecahan yang satu lagi tanpa perubahan. Mengapa cara ini berfungsi? Bayangkan contoh yang lebih mudah, misalnya pembahagian dengan satu perdua. Apabila kita membahagi

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

apakah sebenarnya yang kita lakukan? Kita mencari berapa kali satu perdua muat dalam sepuluh. Satu perdua muat tepat dua kali dalam setiap satu unit (dua darab satu perdua ialah satu), jadi satu perdua muat dua puluh kali dalam sepuluh. Kita memperoleh hasil yang sama jika kita darab dua dengan sepuluh, iaitu dua puluh juga. Dan apakah nilai yang kita peroleh apabila satu perdua diterbalikkan? Dua per satu, iaitu dua.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Akhirnya kita peroleh:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Penambahan pecahan

Penambahan pecahan biasanya sedikit lebih rumit. Pecahan hanya boleh ditambah jika pecahan-pecahan itu mempunyai asas yang sama, iaitu penyebut yang sama. Jika penyebutnya tidak sama, kita perlu menukarkannya kepada penyebut sepunya. Selepas itu, langkahnya mudah seperti dalam pendaraban: tambah sahaja pengangka pecahan pertama dengan pengangka pecahan kedua. Namun, tidak seperti pendaraban, penyebut dikekalkan. Mula-mula, contoh penambahan pecahan dengan penyebut yang sama:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Adakah hal ini masuk akal? Satu perdua tambah lima perdua sama dengan enam perdua. Memang masuk akal.

Jika pecahan tidak mempunyai penyebut yang sama, dan hal ini lebih kerap berlaku, kita perlu menukarkannya kepada penyebut sepunya. Maksudnya, kita darab pengangka dan penyebut salah satu atau kedua-dua pecahan dengan nombor tertentu supaya penyebutnya sama. Katakan kita mahu menambah dua pecahan ini:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Penyebut pecahan pertama ialah tiga dan penyebut pecahan kedua ialah dua. Buat masa ini, sukar untuk menambahnya. Namun, jika pengangka dan penyebut pecahan pertama didarab dengan dua, penyebutnya menjadi enam. Jika pengangka dan penyebut pecahan kedua didarab dengan tiga, penyebutnya juga menjadi enam. Kini kedua-dua pecahan mempunyai penyebut yang sama dan boleh ditambah dengan mudah. Jadi, dalam langkah pertama kita ubah pecahan-pecahan itu supaya penyebutnya sama:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Sekarang kita hanya perlu menambah pengangka dan mengekalkan penyebut:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Berhati-hati: dalam penambahan, kita tidak boleh memudahkan secara bersilang seperti dalam pendaraban. Contohnya, selepas langkah tadi penyebut pecahan pertama ialah enam dan pengangka pecahan kedua ialah lima belas. Namun, kita tidak boleh membahagi kedua-duanya dengan tiga:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Langkah ini hanya dibenarkan jika pecahan-pecahan itu didarab:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Bagaimanakah secara am kita menukarkan dua pecahan kepada penyebut sepunya? Darab pengangka dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan darab pengangka dan penyebut pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama. Secara am, kita boleh menulisnya seperti ini:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Pecahan pertama didarab dengan ungkapan d, iaitu penyebut pecahan kedua. Pecahan kedua didarab dengan ungkapan b, iaitu penyebut pecahan pertama. Contoh konkrit:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Pengangka dan penyebut pecahan pertama didarab dengan lapan, manakala pecahan kedua didarab dengan empat. Selepas langkah ini, kita sudah boleh menambah pecahan-pecahan itu.

Rumus am bagi penambahan pecahan kelihatan seperti ini:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Penolakan pecahan

Penolakan pecahan dilakukan sama seperti penambahan pecahan. Bezanya, pengangka yang diperoleh tidak ditambah, tetapi ditolak. Jadi, rumus am penambahan tadi diubah seperti berikut:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Contoh konkrit. Mula-mula kita tukarkan kepada penyebut sepunya:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Sekarang kita hanya perlu menolak pengangka dan mengekalkan penyebut:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Pendaraban silang

Dalam persamaan, kita boleh menggunakan pendaraban silang yang memudahkan kesamaan dua pecahan. Sebenarnya, kaedah ini hanyalah dua operasi setara pada persamaan itu. Katakan kita mempunyai persamaan dengan dua pecahan

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Persamaan ini boleh diubah dengan mendarabnya dengan penyebut pecahan pertama, kemudian dengan penyebut pecahan kedua. Mula-mula, darab persamaan dengan penyebut pecahan pertama, iaitu ungkapan b. Kita peroleh

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Kemudian darab persamaan dengan ungkapan d, dan kita peroleh

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Dalam pecahan pertama, kita permudahkan b, dan dalam pecahan kedua, kita permudahkan d. Hasilnya ialah persamaan

$$ad=bc.$$

Hal ini boleh dianggap sebagai rumus. Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk dua pecahan, kita boleh mengubahnya seperti berikut:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Berikut ialah contohnya. Dalam langkah pertama, kita tulis pecahan-pecahan itu mengikut rumus tadi, dan dalam langkah kedua kita hanya mengubah sedikit ungkapan pada kedua-dua belah.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Seterusnya, persamaan ini diselesaikan sebagai persamaan kuadratik yang biasa, tetapi hal itu di luar skop artikel ini.

Topik berkaitan

Pecahan sering muncul dalam soalan memudahkan ungkapan. Perkara ini dibincangkan dalam artikel pecahan algebra. Selain itu, terdapat juga algoritma khusus untuk pembahagian polinomial dengan polinomial.