Masalah kerja bersama

Masalah kerja bersama biasanya melibatkan dua watak yang melakukan kerja yang sama dalam tempoh masa yang berbeza. Tugas kita ialah mencari berapa lama masa yang diambil untuk menyiapkan kerja itu jika mereka bekerja bersama-sama.

Contoh masalah

Bayangkan anda bermain sebuah permainan dan sedang melawan seekor naga. Pahlawan Paladin dapat menetak naga itu dengan pedangnya sehingga mati dalam masa 30 saat, manakala pahlawan Barbarian dapat membelasahnya dengan cokmar dalam masa 20 saat sahaja. Soalannya: berapa lamakah masa yang diperlukan untuk membunuh naga itu jika Barbarian dan Paladin melawannya bersama-sama? Berapa banyakkah “kerja bersama” yang perlu mereka lakukan?

Kita selesaikan masalah ini dengan mencari dahulu berapa banyak kecederaan yang dapat dikenakan oleh setiap pahlawan yang berani itu kepada naga dalam satu saat. Oleh sebab Paladin membunuh naga dalam masa 30 saat, dalam satu saat dia mengurangkan 1/30 nyawa naga, iaitu satu pertiga puluh daripada nyawanya. Jika naga itu mempunyai 180 mata nyawa, supaya Paladin dapat membunuhnya dalam masa tiga puluh saat, dia perlu mengurangkan 180 / 30 = 6 mata nyawa setiap saat (iaitu satu pertiga puluh daripada nyawanya). Perhatikan bahawa 180 / 30 sama dengan 180 · (1/30).

Barbarian membunuh naga dalam masa 20 saat, jadi setiap saat dia mengurangkan 1/20 nyawa naga. Bagi naga yang sama dengan 180 mata nyawa, setiap saat dia mengurangkan 180 / 20 = 9 mata nyawa.

Jadi, setiap saat Paladin mengurangkan 1/30 nyawa naga, manakala Barbarian mengurangkan 1/20. Sekarang kita bertanya, berapa saatkah yang diperlukan untuk kedua-dua pahlawan ini membunuh naga itu bersama-sama? Kita boleh melihatnya langkah demi langkah. Berapa banyakkah nyawa naga yang mereka kurangkan dalam masa dua saat?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Jawapannya ialah satu perenam daripada nyawanya. Kita tambah 1/30 + 1/20 kerana kedua-dua pahlawan berlawan bersama-sama, dan kita tambahnya dua kali kerana mereka berlawan selama dua saat. Kita lihat bahawa hal ini boleh diitlakkan: jika mereka berlawan selama x saat, mereka mengurangkan

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

daripada nyawa naga. Sekarang tinggal satu perkara sahaja: naga itu mati apabila semua nyawanya habis. Seluruh nyawa diwakili oleh nombor 1 kerana pecahan 1/30 mewakili satu pertiga puluh daripada nyawa naga. Jadi, nombor 1 ialah seluruh nyawa naga. Kita hanya perlu menyamakan ungkapan tadi dengan satu:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

dan mencari penyelesaiannya. Darab seluruh persamaan dengan 60, dan kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60\text{(darab dengan }\frac{1}{5}\text{)}\\ x& =& 12\end{array}$$

Kita peroleh x = 12. Maksudnya, mereka membunuh naga itu dalam masa 12 saat. Boleh tahan.

Kita boleh menyemak jawapan ini dengan menggantikan nombor sebenar. Naga kita mempunyai 180 mata nyawa, dan jawapan kita mengatakan bahawa mereka membunuhnya bersama-sama dalam masa 12 saat. Paladin mengurangkan 6 mata nyawa naga ini setiap saat, manakala Barbarian mengurangkan 9. Maksudnya, dalam masa 12 saat Paladin mengurangkan 12 · 6 = 72 mata nyawa, dan Barbarian mengurangkan 12 · 9 = 108 mata nyawa. Jumlahnya 72 + 108 = 180 mata nyawa. Hal ini sepadan dengan fakta bahawa semua nyawa naga telah habis.

Cuba contoh soalan lain tentang kerja bersama:

Contoh

• Hafiz sangat ingin membeli telefon bimbit baharu. Dia berbincang dengan ibunya, dan ibunya berkata bahawa dia akan memberi Hafiz wang saku setiap minggu, dan selepas 60 minggu Hafiz akan mempunyai wang yang cukup untuk membeli telefon idamannya. Namun, Hafiz bijak, lalu dia pergi berjumpa ayahnya juga. Ayahnya juga berjanji memberinya wang dan berkata bahawa Hafiz akan dapat membeli telefon baharu itu selepas 30 minggu sahaja. Sebenarnya, berapa lamakah masa yang diperlukan untuk Hafiz mendapat telefon baharu jika dia menerima wang saku mingguan daripada ibu dan ayahnya?

Setiap minggu, Hafiz menerima 1/60 daripada harga telefon daripada ibunya dan 1/30 daripada harga telefon daripada ayahnya. Persamaannya dibentuk sama seperti dalam kes sebelumnya:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Ungkapan x · 1/60 + x · 1/30 menunjukkan bahagian harga telefon yang telah disimpan oleh Hafiz selepas x minggu. Oleh sebab kita bertanya bilakah dia akan mempunyai wang yang cukup untuk telefon itu, kita samakan ungkapan ini dengan satu. Jika dia mahu membeli tiga buah telefon, sebelah kanan persamaan ialah tiga.

Sekarang kita selesaikan persamaan itu. Mula-mula, darab dengan 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60\text{(darab dengan }\frac{1}{3}\text{)}\\ x& =& 20\end{array}$$

Jawapannya, Hafiz akan mendapat telefon baharu dalam masa 20 minggu. Sekali lagi, kita boleh menyemaknya dengan menggantikan nilai sebenar. Jika telefon itu berharga RM1 800, setiap minggu dia menerima 1/60 daripada harga ini daripada ibunya, iaitu RM30. Daripada ayahnya, dia menerima 1/30 daripada harga itu, iaitu RM60. Ibu bapanya agak pemurah. Dalam masa 20 minggu, dia menerima 20 · 30 = 600 ringgit daripada ibunya dan 20 · 60 = 1200 ringgit daripada ayahnya. Jumlahnya 600 + 1200 = 1800 ringgit.

• Sebuah kolam renang diisi melalui tiga batang paip. Paip pertama dapat mengisi kolam itu dalam masa 100 minit, paip kedua dalam masa 75 minit dan paip ketiga dalam masa 50 minit. Berapa lamakah masa yang diperlukan untuk mengisi kolam itu jika air dialirkan melalui ketiga-tiga paip?

Contoh ini sama seperti kes-kes sebelumnya, cuma kini terdapat tiga pihak yang bekerja bersama, bukan dua. Persamaannya ialah:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Darab persamaan dengan 150 dan teruskan langkah-langkahnya:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150\text{(darab dengan 2)}\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300\text{(darab dengan }\frac{1}{13}\text{)}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Kita tidak akan mendapat jawapan yang lebih kemas. Kolam itu penuh dalam masa 300/13 minit, iaitu kira-kira 23 minit.

• Syarikat Potong Rumput Kemas dapat memotong rumput di sebuah padang dalam masa sepuluh jam. Syarikat Cabut Bunga dengan Dinamit dapat memotong rumput di padang yang sama dalam masa enam jam. Berapa jamkah masa yang diperlukan oleh kedua-dua syarikat ini untuk memotong rumput di dua padang seperti itu jika mereka bekerja bersama-sama?

Berapa banyakkah yang dapat dipotong oleh kedua-dua syarikat dalam masa x jam? Ungkapannya sudah biasa:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Namun, oleh sebab kita mahu mereka memotong rumput di dua padang, sebelah kanan persamaan bukan 1, tetapi 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Selebihnya, pengiraannya sama. Darab seluruh persamaan dengan 30 dan teruskan langkah-langkahnya:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60\text{(darab dengan }\frac{1}{8}\text{)}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7.5\end{array}$$

Kedua-dua padang itu siap dipotong dalam masa tujuh setengah jam.

• Seorang wanita melahirkan seorang bayi dalam masa sembilan bulan. Dalam masa berapa bulankah sembilan orang wanita melahirkan seorang bayi?