Ubahan langsung dan ubahan songsang

Kaedah kadaran digunakan dalam pengiraan mudah yang melibatkan ubahan langsung dan ubahan songsang. Biasanya kita tahu tiga nilai yang saling bergantung dan perlu mengira nilai keempat. Kita mesti membezakan ubahan langsung dengan ubahan songsang dengan teliti kerana cara pengiraannya berbeza.

Motivasi

Anda pergi ke kedai untuk membeli stok minuman. Dengan RM10, anda membeli 5 botol minuman. Berapakah botol minuman yang dapat anda beli jika anda mempunyai RM20? Inilah contoh biasa yang boleh diselesaikan dengan kaedah kadaran.

Di sini kita boleh berfikir secara mudah. Dalam kes pertama, kita mempunyai RM10, dan dalam kes kedua RM20. Jadi, kita boleh menjangka bahawa jika wang kita dua kali ganda, kita dapat membeli dua kali ganda bilangan botol. Dengan RM20, kita dapat membeli 2 · 5 = 10 botol minuman.

Cara berfikir “semakin banyak… semakin banyak” tadi tidak selalu betul. Lihat contoh berikut: 10 orang tukang batu membina sebuah rumah dalam masa empat bulan. Berapa lamakah masa yang diambil oleh 20 orang tukang batu untuk membina rumah itu? Jika kita menggunakan cara tadi, iaitu bilangan tukang batu dua kali ganda, jadi bilangan bulan juga dua kali ganda, kita akan mendapat bahawa 20 orang tukang batu membina rumah itu dalam masa 2 · 4 = 8 bulan.

Cara ini sudah tentu salah kerana semakin banyak tukang batu, semakin sedikit bulan yang diperlukan untuk membina rumah itu. Oleh itu, kita perlu berfikir secara terbalik: tukang batu yang dua kali ganda bilangannya membina rumah dalam masa separuh bilangan bulan. Kita mendapat jawapan yang betul: 20 orang tukang batu membina rumah itu dalam masa 4/2 = 2 bulan.

Kedua-dua cara berfikir ini mempunyai nama: ubahan langsung dan ubahan songsang.

Ubahan langsung

Jika “semakin banyak… semakin banyak”, hubungan itu ialah ubahan langsung. Contohnya:

• Semakin banyak wang kita, semakin banyak minuman/timun/skuter yang dapat kita beli.
• Semakin banyak artikel yang ditulis oleh seorang wartawan, semakin banyak pendapatannya.
• Semakin ramai penggali yang menggali, semakin banyak tanah yang digali.
• Semakin lama pam beroperasi, semakin banyak air yang dipam.

Contoh: Sebuah kereta menggunakan 6 liter petrol bagi setiap 100 kilometer. Berapa liter petrol yang digunakan selepas kereta itu bergerak sejauh 250 kilometer? Ini contoh ubahan langsung kerana semakin jauh kereta itu bergerak, semakin banyak petrol yang digunakan.

Langkah: Mula-mula, tulis maklumat yang kita tahu. Kita gunakan jadual berikut yang menunjukkan dengan jelas apa yang kita tahu dan apa yang hendak dikira:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\end{array}$$

Baris pertama mengandungi maklumat yang kita tahu sepenuhnya. Dalam baris kedua, di sebelah kanan terdapat nilai yang tidak diketahui, dan di sebelah kiri terdapat nilai yang menjadi asas pengiraan anu itu. Setiap lajur mesti mengandungi kuantiti yang sama. Dalam kes ini, satu lajur mesti mengandungi kilometer sahaja, dan lajur yang satu lagi liter sahaja.

Terdapat satu cara mudah untuk menyelesaikan contoh ini. Mula-mula, lukis anak panah dari bawah ke atas di sebelah kanan, seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Jika hubungan itu ialah ubahan langsung, lukis anak panah yang sama di sebelah kiri, iaitu dari bawah ke atas:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Dalam langkah seterusnya, bentuk pecahan daripada lajur-lajur itu mengikut arah anak panah. Pengangka ialah nombor di pangkal anak panah, dan penyebut ialah nombor di hujung anak panah. Kedua-dua pecahan ini disamakan. Daripada lajur pertama (kilometer), kita peroleh pecahan $\frac{250}{100}$, dan daripada lajur kedua (liter), pecahan $\frac{x}{6}$. Dalam bentuk persamaan:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Ini ialah persamaan linear biasa yang boleh diselesaikan dengan operasi setara. Darab seluruh persamaan dengan enam untuk menghapuskan pecahan di sebelah kanan:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Sekarang kita hanya perlu mengira x:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Jadi, selepas bergerak sejauh 250 kilometer, kereta itu menggunakan 15 liter petrol.

Ubahan songsang

Jika “semakin banyak… semakin sedikit”, hubungan itu ialah ubahan songsang. Contohnya:

• Semakin ramai orang yang berkongsi sebiji piza, semakin kecil potongan yang diterima oleh setiap orang.
• Semakin laju internet kita, semakin cepat kita memuat turun filem.
• Semakin laju kita memandu, semakin cepat kita tiba di destinasi.
• Semakin ramai pekerja yang membina sebuah rumah, semakin cepat rumah itu siap.

Contoh: Laju internet pada komputer anda ialah 2 MB sesaat, dan anda memuat turun rakaman sebuah konsert dalam masa 450 saat. Berapa lamakah masa yang diperlukan untuk memuat turun konsert yang sama jika laju internet anda 6 MB sesaat?

Langkahnya sama seperti dalam ubahan langsung. Tulis maklumat dalam jadual yang jelas:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ saat}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ saat}\end{array}$$

Sekarang anak panah. Anak panah di sebelah kanan sekali lagi dari bawah ke atas, tiada perubahan di sini. Namun, oleh sebab hubungan ini ialah ubahan songsang, anak panah di sebelah kiri menghala ke arah bertentangan, iaitu dari atas ke bawah.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ saat}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ saat}\uparrow \end{array}$$

Langkah seterusnya sama: bentuk pecahan daripada jadual ini, sekali lagi mengikut arah anak panah. Kita peroleh pecahan $\frac{2}{6}$ dan $\frac{x}{450}$, lalu kita samakan:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

Darab persamaan dengan 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

Kemudian hitung x:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

Dengan sambungan yang lebih laju, kita dapat memuat turun konsert itu dalam masa 150 saat.

Perhatikan bahawa langkah ini sesuai dengan gerak hati kita. Dalam langkah terakhir, kita bahagikan 450 dengan tiga, dan hal ini memang dijangka. Laju meningkat daripada 2 MB/s kepada 6 MB/s, iaitu tiga kali ganda. Oleh itu, kita menjangka bahawa masa untuk memuat turun filem itu menjadi satu pertiga →, dan itulah yang ditunjukkan oleh pecahan $\frac{450}{3}$.

Contoh

Contoh pertama: Sebuah bilik di hotel mewah berharga dua ribu seratus ringgit untuk tujuh malam. Berapakah harga bilik yang sama jika kita mahu menginap di sana selama dua belas hari?

Mula-mula, tulis maklumat dalam jadual:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ hari}& \dots & 2100\text{ ringgit}\\ 12\text{ hari}& \dots & x\text{ ringgit}\end{array}$$

Sekarang kita perlu menentukan sama ada hubungan ini ubahan langsung atau ubahan songsang. Adakah semakin lama kita menginap, semakin sedikit bayarannya? Tidak, yang benar ialah sebaliknya: semakin lama kita menginap, semakin banyak bayarannya. Jadi, hubungan ini ialah ubahan langsung. Lukis anak panah:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ hari}& \dots & 2100\text{ ringgit}\\ \uparrow 12\text{ hari}& \dots & x\text{ ringgit}\uparrow \end{array}$$

Bentuk pecahan menggunakan anak panah:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{2100}$$

Selesaikan persamaan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{2100}\\ 2100\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 2100\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{2100\cdot 12}{7}\\ x& =& 3600\end{array}$$

Bilik itu berharga 3 600 ringgit untuk 12 hari.

Contoh kedua: 10 orang pekerja sambilan memetik strawberi dan dalam sehari mereka memetik 50 kilogram strawberi. Berapa kilogramkah strawberi yang dipetik oleh 7 orang pekerja sambilan dalam sehari?

Tulis maklumat dalam jadual:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ pekerja}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ pekerja}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Adakah hubungan ini ubahan langsung atau ubahan songsang? Dalam contoh ini terdapat sedikit perangkap. Tidak seperti contoh-contoh sebelumnya, bilangan pekerja dalam baris yang mengandungi anu lebih kecil daripada dalam baris pertama. Jangan terkeliru. Hubungan ini masih ubahan langsung kerana semakin ramai pekerja, semakin banyak strawberi yang dipetik. Atau sebaliknya: semakin sedikit pekerja, semakin sedikit strawberi. Itu juga ubahan langsung. Jadi, kedua-dua anak panah menghala dari bawah ke atas.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ pekerja}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ pekerja}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

Bentuk pecahan:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

dan hitung x:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Tujuh orang pekerja sambilan memetik 35 kilogram strawberi dalam sehari.

Contoh ketiga: Purata panjang langkah Farah ialah 80 cm. Dalam perjalanan pulang dari sekolah, dia mengira bahawa dia telah mengambil 1 300 langkah. Berapakah bilangan langkahnya jika setiap langkah tepat satu meter?

Mula-mula, jadual. Berhati-hati kerana soalan memberikan 80 cm dan satu meter. Dalam jadual, kita memerlukan nilai dalam unit yang sama. Jadi, sebagai ganti satu meter, kita gunakan 100 cm. Kita juga boleh berbuat sebaliknya dan menulis 1 meter dan 0.8 meter.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ langkah}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ langkah}\end{array}$$

Ubahan yang manakah ini? Semakin panjang langkah kita, semakin sedikit langkah yang diperlukan untuk menempuh jarak tertentu. Jadi, hubungan ini ialah ubahan songsang. Anak panah kiri menghala dari atas ke bawah, dan anak panah kanan dari bawah ke atas.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ langkah}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ langkah}\uparrow \end{array}$$

Pecahannya seperti berikut:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

Jadikan x perkara rumus dan hitung nilainya:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Untuk jarak yang sama, Farah hanya memerlukan 1 040 langkah.

Rumus

Seperti yang kita lihat dalam pengiraan tadi, langkah-langkahnya sentiasa sama dan membawa kepada rumus yang mudah. Mula-mula, tulis jadual secara simbolik:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Maka, rumus berikut berlaku. Bagi ubahan langsung:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

Dan bagi ubahan songsang:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$