Polinomial

Polinomial ialah ungkapan yang mengandungi pemboleh ubah x dan operasi biasa, iaitu penambahan, pendaraban dan kuasa dengan indeks integer bukan negatif. Polinomial juga boleh ditambah, ditolak, didarab, dibahagi dan dikuasakan.

Hubungan asas

Contoh polinomial yang mudah ialah:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Secara am, polinomial boleh ditulis seperti berikut:

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

dengan nombor nyata di hadapan x, iaitu a_n, dipanggil pekali, dan n dipanggil darjah polinomial. Nombor n ialah kuasa tertinggi dalam polinomial dengan a_n ≠ 0. Jika a_n sama dengan sifar, pemboleh ubah x yang dimiliki oleh pekali itu sebenarnya hilang kerana sifar darab apa-apa pun ialah sifar:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Jadi, bagi polinomial pertama tadi, darjah polinomialnya ialah dua kerana kuasa bukan sifar yang tertinggi bagi pemboleh ubah x ialah dua. Bagi polinomial lain

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

darjah polinomialnya ialah 4 (indeks tertinggi ialah 4). Biasanya polinomial ditulis mengikut tertib menurun indeks supaya sebutan dengan kuasa tertinggi berada di hadapan. Jadi, polinomial tadi boleh ditulis semula seperti ini:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Kita lihat bahawa polinomial ini tidak mempunyai sebutan dengan pemboleh ubah berindeks tiga dan sifar. Hal ini tidak menjadi masalah. Kita hanya membayangkan bahawa pekali bagi sebutan itu ialah sifar. Kita boleh menulis

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Kini semua sebutan ada, tetapi polinomial itu menjadi sukar dibaca tanpa sebab. Oleh itu, sebutan bernilai sifar biasanya tidak ditulis.

Penambahan dan penolakan polinomial

Penambahan dan penolakan polinomial agak mudah. Kita hanya menambah atau menolak pekali bagi sebutan yang mempunyai indeks yang sama. Jadi,

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Contoh mudah:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Jika kita mahu menambah polinomial yang lebih panjang, kita perlu sentiasa memilih sebutan yang pemboleh ubahnya mempunyai indeks yang sama.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Jika sebutan dengan indeks tertentu tidak wujud dalam satu polinomial, sebutan itu kekal tanpa perubahan (bayangkan polinomial kedua mempunyai sebutan itu, tetapi dengan pekali sifar).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Penolakan polinomial dilakukan seperti penambahan. Bezanya, polinomial kedua didarab dengan negatif satu, iaitu semua tandanya ditukar. Berikut ialah contohnya:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Kini kita mempunyai penambahan polinomial yang biasa, jadi kita boleh menambahnya seperti biasa:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Ingat bahawa jika polinomial itu mempunyai sebutan negatif, sebutan itu menjadi positif selepas langkah ini.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Pendaraban polinomial

Dalam pendaraban polinomial, setiap sebutan polinomial pertama didarab dengan setiap sebutan polinomial kedua. Pekali didarab seperti biasa, sama seperti nombor nyata. Indeks pemboleh ubah pula hanya ditambah mengikut peraturan kuasa. Berikut ialah contohnya:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Contoh ini masih menggunakan polinomial dengan satu sebutan, jadi pendaraban merentasi semua sebutan belum ditunjukkan dengan jelas. Berikut ialah contoh yang sedikit lebih panjang:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Jika polinomial mengandungi tanda tolak, tanda itu diambil kira dalam pendaraban seperti biasa.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Memudahkan polinomial

Apabila memudahkan polinomial, biasanya kita mahu mengubah polinomial itu supaya menjadi lebih ringkas. Untuk tujuan ini, kita menggunakan cara seperti mendarab pengangka dan penyebut dengan ungkapan yang sama, membahagi dengan ungkapan yang sama, pemfaktoran, penggunaan rumus dan sebagainya. Sebaiknya anda mengetahui rumus-rumus ini. Di sini kita akan menggunakan sebahagian daripadanya, dan saya akan menyebutnya apabila tiba masanya. Rumus klasik yang sering digunakan ialah

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Jika anda ingin tahu bagaimana rumus ini diperoleh, kembangkan sahaja kurungannya.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Kita mulakan dengan contoh yang mudah.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Kedua-dua kurungan di sebelah kiri telah dikembangkan menggunakan rumus di atas. Ingat bahawa kurungan kedua dikembangkan seperti berikut:

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Rumus klasik yang lain ialah

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Contoh kedua menggunakan pecahan. Pengangka dan penyebut mengandungi polinomial, dan kita akan cuba mengubahnya supaya seluruh pecahan itu dapat dipermudahkan dengan kemas. Dalam langkah pertama, kita gunakan rumus pertama pada pengangka, tetapi secara terbalik. Pada penyebut, kita gunakan rumus kedua. Akhir sekali, kita hanya membahagi pengangka dan penyebut dengan (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Dalam contoh ketiga, kita akan menggunakan pemfaktoran. Pada pengangka, kita keluarkan faktor sepunya 3a³ dahulu, kemudian memfaktorkan kurungan (4a² − 1) menggunakan rumus a² − b². Di sini kita menggunakan fakta bahawa

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Pada penyebut, kita darab dua sebutan pertama dahulu, kemudian keluarkan juga faktor sepunya 3a³, dan akhirnya permudahkan seluruh pecahan.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Kandungan: Polinomial, Pembahagian polinomial dengan polinomial, Punca polinomial, Pemfaktoran polinomial

« Artikel sebelumnya: Mengapa kita tidak boleh membahagi dengan sifar

Artikel seterusnya: Pembahagian polinomial dengan polinomial »