함께 일하는 문제

함께 일하는 문제에는 보통 같은 일을 서로 다른 시간에 해내는 두 인물이 나온다. 두 인물이 함께 일하면 그 일을 하는 데 얼마나 걸리는지 구하는 것이 목표이다.

대표 예제

용과 싸우는 게임을 하고 있다고 상상해 보자. 기사는 검으로 30초 만에 용을 쓰러뜨리고, 전사는 곤봉으로 20초 만에 쓰러뜨린다. 전사와 기사가 함께 용과 싸우면 몇 초 만에 용을 쓰러뜨릴까? “함께 하는 일”은 얼마나 필요할까?

먼저 두 용감한 용사가 1초 동안 용에게 입히는 피해를 각각 구한다. 기사는 용을 30초 만에 쓰러뜨리므로 1초에 용의 체력의 1/30, 즉 30분의 1을 깎는다. 용의 체력이 180이라면, 기사가 30초 만에 쓰러뜨리려면 1초마다 180 / 30 = 6씩(체력의 30분의 1) 깎아야 한다. 그런데 180 / 30은 180 · (1/30)과 같다.

전사는 20초 만에 쓰러뜨리므로 1초마다 용의 체력의 1/20을 깎는다. 체력이 180인 같은 용이라면 1초마다 180 / 20 = 9씩 깎는다.

즉 1초에 기사는 용의 체력의 1/30을, 전사는 1/20을 깎는다. 이제 두 사람이 힘을 합쳐 용을 쓰러뜨리는 데 몇 초가 걸리는지 알아보자. 차근차근 생각해 보자. 2초 동안에는 체력을 얼마나 깎을까?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

체력의 6분의 1을 깎는다. 두 사람이 함께 싸우므로 1/30 + 1/20을 더하고, 2초 동안 싸우므로 이것을 두 번 더했다. 이것을 일반화하면, x초 동안 싸울 때 용에게서 깎는 체력은 다음과 같다.

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

이제 한 가지만 남았다. 체력을 모두 깎으면 용은 쓰러진다. 체력 전체는 수 1로 나타낸다. 분수 1/30이 용의 체력의 30분의 1을 나타내므로 1은 용의 체력 전체이다. 따라서 앞의 식이 1과 같다고 놓으면 된다.

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

이제 해를 구한다. 방정식 전체에 60을 곱하면 다음을 얻는다.

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

x = 12가 나온다. 즉 두 사람은 12초 만에 용을 쓰러뜨린다. 꽤 빠르다.

구체적인 수를 넣어 확인해 보자. 체력이 180인 용을 두 사람이 함께 12초 만에 쓰러뜨린다는 결과가 나왔다. 기사는 이 용의 체력을 1초에 6씩, 전사는 9씩 깎는다. 그러면 12초 동안 기사는 모두 12 · 6 = 72를, 전사는 12 · 9 = 108을 깎는다. 모두 합하면 72 + 108 = 180이므로 체력을 모두 깎았다는 것과 맞다.

함께 일하는 문제의 예제를 더 풀어 보자.

예제

• 민준이는 새 휴대폰을 몹시 갖고 싶다. 엄마와 이야기했더니 엄마는 매주 용돈을 주겠다고 했고, 60주가 지나면 원하는 휴대폰을 살 만큼 돈이 모인다고 했다. 그런데 민준이는 꾀가 많아서 아빠에게도 갔다. 아빠도 용돈을 주기로 했고, 아빠의 용돈만으로도 30주면 새 휴대폰을 살 수 있다고 했다. 엄마와 아빠에게서 매주 용돈을 받으면 민준이는 실제로 몇 주 뒤에 새 휴대폰을 살 수 있을까?

민준이는 매주 엄마에게서 휴대폰 값의 1/60을, 아빠에게서 휴대폰 값의 1/30을 받는다. 방정식은 앞의 예와 똑같이 세운다.

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

식 x · 1/60 + x · 1/30은 x주 뒤에 민준이가 모은 돈이 휴대폰 값의 얼마인지를 나타낸다. 휴대폰을 살 돈이 딱 모이는 때를 묻고 있으므로 이 식을 1과 같다고 놓는다. 휴대폰을 세 대 사고 싶다면 우변은 3이 될 것이다.

방정식을 풀어 보자. 먼저 60을 곱한다.

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

민준이는 20주 뒤에 새 휴대폰을 갖게 된다. 이번에도 실제 값을 넣어 확인할 수 있다. 휴대폰이 90만 원이라면 엄마는 매주 이 값의 1/60, 즉 15,000원을 준다. 아빠는 이 값의 1/30인 30,000원을 준다. 부모님이 꽤 너그럽다. 20주 동안 엄마에게서 20 · 15,000 = 300,000원을, 아빠에게서 20 · 30,000 = 600,000원을 받는다. 모두 300,000 + 600,000 = 900,000원을 받는다.

• 수영장에 연결된 관이 세 개 있다. 첫 번째 관은 수영장을 100분 만에 채우고, 두 번째 관은 75분, 세 번째 관은 50분 만에 채운다. 세 관으로 동시에 물을 채우면 몇 분 만에 수영장이 가득 찰까?

이 문제도 앞의 예와 같은데, 함께 일하는 것이 둘이 아니라 셋일 뿐이다. 방정식은 다음과 같다.

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

방정식에 150을 곱하고 계속 정리한다.

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

이보다 깔끔한 답은 나오지 않는다. 수영장은 300/13분, 즉 약 23분 만에 가득 찬다.

• “싹둑싹둑 잔디깎기” 회사는 풀밭 하나를 10시간 만에 깎는다. “다이너마이트로 꽃 뽑기” 회사는 같은 풀밭을 6시간 만에 깎는다. 두 회사가 함께 일하면 이런 풀밭 두 개를 깎는 데 몇 시간이 걸릴까?

두 회사가 x시간 동안 깎는 양은 얼마일까? 이제는 익숙한 식이다.

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

그런데 풀밭 두 개를 깎아야 하므로 방정식의 우변은 1이 아니라 2이다.

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

나머지 계산은 같다. 방정식 전체에 30을 곱하고 정리한다.

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7.5\end{array}$$

두 회사는 풀밭 두 개를 7시간 30분 만에 깎는다.

• 여자 한 명이 아이 한 명을 낳는 데 아홉 달이 걸린다. 여자 아홉 명이 아이 한 명을 낳는 데는 몇 달이 걸릴까?