Pecahan algebra

Pecahan algebra ialah pecahan yang mempunyai polinomial pada pengangka dan penyebut. Biasanya kita cuba memudahkan pecahan algebra kepada ungkapan yang lebih pendek dan lebih kemas.

Asas

Sekali lagi, pecahan algebra mempunyai bentuk berikut:

$$\frac{\text{polinomial}}{\text{polinomial}}$$

Contoh pecahan algebra ialah ungkapan berikut:

$$\frac{x^2-1}{x+1}$$

Tugas kita ialah memudahkan ungkapan ini. Semasa memudahkannya, kita menggunakan cara yang sama seperti semasa memudahkan polinomial. Misalnya, kita menggunakan pemfaktoran dan pelbagai rumus yang berguna. Bahagian seterusnya meringkaskan langkah yang paling kerap digunakan.

Pecahan algebra sepatutnya mempunyai pemboleh ubah pada penyebut. Contohnya, ungkapan berikut tidak dipanggil pecahan algebra:

$$\frac{2x+3}{2}$$

Bagi pecahan algebra, biasanya kita juga menentukan syarat supaya pecahan itu tertakrif. Penyebut pecahan algebra tidak boleh sama dengan sifar kerana, seperti yang kita tahu, kita tidak boleh membahagi dengan sifar.

Teknik

Terdapat banyak teknik untuk memudahkan ungkapan. Saya akan cuba meringkaskan teknik-teknik yang biasa. Teknik pertama ialah memudahkan pecahan. Jika pengangka dan penyebut hanya mengandungi ungkapan yang didarab antara satu sama lain, kita boleh memudahkannya:

$$\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$$

Di sini kita membahagi pengangka dan penyebut dengan pemboleh ubah a. Jika pecahan itu kelihatan seperti ini

$$\frac{2a+10}{5a}\ne \frac{2+10}{5},$$

kita tidak boleh memudahkannya dengan cara itu. Pengangka berbentuk hasil tambah, jadi langkah itu tidak dibenarkan. Sering kali penyebut atau pengangka berbentuk hasil tambah, tetapi kita dapat mengeluarkan faktor sepunya daripada ungkapan itu, dan selepas itu barulah kita boleh memudahkannya. Contohnya, dalam pecahan

$$\frac{5a+6ab}{2a}$$

pengangka berbentuk hasil tambah, tetapi kita boleh mengeluarkan faktor sepunya a, kemudian memudahkannya

$$\frac{5a+6ab}{2a}=\frac{a(5+6b)}{2a}=\frac{5+6b}{2}.$$

Langkah lain yang kerap digunakan ialah memfaktorkan sesuatu menggunakan rumus. Di atas kita mempunyai pecahan algebra

$$\frac{x^2-1}{x+1}.$$

Jika kita menggunakan rumus berikut pada pengangka

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b),$$

kita memperoleh pecahan algebra yang baharu

$$\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}$$

dan di sini kita sudah boleh memudahkan seluruh kurungan (x + 1):

$$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)}=\frac{x-1}{1}=x-1.$$

Selain itu, sudah tentu terdapat pelbagai langkah lain seperti penambahan dan pendaraban polinomial, operasi dengan kuasa, penambahan pecahan dan sebagainya.

Contoh pertama

Soalan:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}$$

Kita lihat bahawa nombor dua boleh dikeluarkan sebagai faktor sepunya pada pengangka dan penyebut, kemudian dipermudahkan:

$$\frac{6a+12b}{2a+4b}=\frac{2(3a+6b)}{2(a+2b)}=\frac{3a+6b}{a+2b}$$

Pada pengangka, kita masih boleh mengeluarkan faktor sepunya tiga:

$$\frac{3a+6b}{a+2b}=\frac{3(a+2b)}{a+2b}$$

Seluruh ungkapan a + 2b boleh dipermudahkan, dan yang tinggal hanya tiga:

$$\frac{3(a+2b)}{a+2b}=\frac{3}{1}=3$$

Syarat bagi pecahan algebra ini:

$$a+2b\ne 0$$

Contoh kedua

Soalan:

$$(\frac{x+1}{x+2}-\frac{x-1}{x-2})\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Dalam langkah pertama, kita tolak pecahan di dalam kurungan:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Seterusnya, kita kembangkan kurungan pada penyebut. Pelajar yang lebih peka mungkin perasan bahawa kita boleh menggunakan rumus a² − b²:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{x^2-4}\cdot \frac{x^2-4}{2x}$$

Penyebut pecahan pertama sama dengan pengangka pecahan kedua. Oleh sebab kedua-dua pecahan ini didarab, kita boleh memudahkan ungkapan itu:

$$\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{1}\cdot \frac{1}{2x}=\frac{(x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)}{2x}$$

Sekarang kita perlu membuat sedikit kerja kasar: kembangkan dan tambah kurungan pada pengangka, kemudian permudahkan:

$$\frac{x^2-2x+x-2-(x^2+2x-x-2)}{2x}=\frac{x^2-2x+x-2-x^2-2x+x+2}{2x}=$$

$$=\frac{-2x}{2x}=\frac{-1}{1}=-1$$

Syarat ditentukan berdasarkan soalan. Soalan itu mengandungi tiga pecahan, dan tiada penyebut yang boleh sama dengan sifar.

$$\begin{array}{rcl}x& \ne & 2\\ x& \ne & -2\\ x& \ne & 0\end{array}$$

Contoh ketiga

Pecahan algebra yang seterusnya:

$$(\frac{a+b}{ab}-\frac{a-b}{ab}+2)\cdot (\frac{a}{a+1}-\frac{a}{b+1})$$

Seperti tadi, mula-mula kita tambah dan tolak ungkapan di dalam kurungan. Beza yang pertama mudah kerana kedua-dua pecahan mempunyai penyebut yang sama.

$$(\frac{(a+b)-(a-b)}{ab}+2)\cdot \left(\frac{a(b+1)-(a+1)a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Kembangkan dan tambah ungkapan pada pengangka:

$$(\frac{2b}{ab}+2)\cdot \left(\frac{ab+a-a^2-a}{(a+1)(b+1)}\right)$$

Dalam pecahan pertama, kita permudahkan pemboleh ubah b. Nombor dua pula kita tulis sebagai pecahan dengan penyebut a supaya boleh ditambah kepada pecahan pertama:

$$(\frac{2}{a}+\frac{2a}{a})\cdot \frac{ab-a^2}{(a+1)(b+1)}$$

Tambah pecahan dalam kurungan pertama, dan pada pengangka pecahan kedua, keluarkan faktor sepunya a.

$$\frac{2+2a}{a}\cdot \frac{a(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Sekarang kita boleh memudahkan a:

$$\frac{2+2a}{\boxed{\text{a}}}\cdot \frac{\boxed{\text{a}}(b-a)}{(a+1)(b+1)}=(2+2a)\frac{b-a}{(a+1)(b+1)}$$

Kini kita hanya perlu mendarab ungkapan di sebelah kiri dengan pecahan itu.

$$\frac{(2+2a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Keluarkan faktor sepunya dua daripada kurungan pertama:

$$\frac{2(1+a)(b-a)}{(a+1)(b+1)}$$

Sekarang kita boleh memudahkan (1 + a) (penyebut mengandungi ungkapan yang sama, cuma ditulis terbalik sebagai a + 1).

$$\frac{2(b-a)}{b+1}$$

Inilah pecahan algebra yang telah dipermudahkan sepenuhnya. Tiada lagi langkah munasabah yang boleh dilakukan pada ungkapan ini. Syaratnya:

$$\begin{array}{rcl}ab& \ne & 0\to a,b\ne 0\\ a& \ne & -1\\ b& \ne & -1\end{array}$$

Pembahagian polinomial

Pecahan algebra juga boleh diselesaikan menggunakan algoritma pembahagian polinomial dengan polinomial. Cara ini berguna apabila teknik biasa untuk memudahkan ungkapan tidak dapat digunakan.