Pembahagian nombor

Pembahagian nombor ialah proses songsang bagi pendaraban nombor. Pembahagian juga menjadi sumber jenaka kerana, seperti yang semua orang tahu, kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Jika kita berbuat demikian, buku latihan kita akan terbakar.

Apakah pembahagian nombor

Pembahagian boleh dibayangkan sebagai memecahkan satu keseluruhan yang besar kepada beberapa bahagian kecil yang sama besar. Katakan seorang ayah perlu memotong sekeping papan sepanjang 100 cm kepada lima bahagian yang sama panjang. Berapakah panjang setiap bahagian?

Kita boleh berfikir secara terbalik. Jika kita menambah panjang kelima-lima bahagian yang dipotong, kita mesti mendapat semula nombor 100. Nombor apakah yang memenuhi syarat ini? Nombor itu ialah 20 kerana 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Selain penambahan, kita juga boleh menggunakan pendaraban. Kita boleh bertanya: nombor apakah yang apabila didarab dengan lima memberikan seratus? Sekali lagi jawapannya 20 kerana 5 · 20 = 100.

Secara grafik, hal ini boleh diwakilkan sebagai pembahagian tembereng garis sepanjang 100 kepada lima bahagian yang sama panjang:

Apabila kita mahu membahagi 100 dengan 5, kita mencari “berapa kali nombor lima muat dalam nombor seratus”. Pembahagian ditulis sama ada dengan garis condong, 100 / 5, atau dengan tanda titik bertindih, 100 : 5. Hasil pembahagian dua nombor dipanggil hasil bahagi. Dalam contoh kita, nombor 20 ialah hasil bahagi bagi 100 dan 5. Nombor di sebelah kiri dipanggil nombor yang dibahagi (dividen), manakala nombor di sebelah kanan dipanggil pembahagi. Pembahagian juga boleh ditulis sebagai pecahan: sebagai ganti 100 / 5, kita boleh menulis $\frac{100}{5}$. Ringkasan istilah:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a dipanggil nombor yang dibahagi (dividen),
• b dipanggil pembahagi,
• c dipanggil hasil bahagi.

Takrif menggunakan pendaraban

Cara paling mudah untuk mentakrifkan hasil bahagi ialah menggunakan pendaraban. Sebagai contoh, ambil hasil bahagi 35 / 7. Apakah jawapannya? Kita mencari nombor yang apabila didarab dengan 7 memberikan 35. Jika kita membahagi 48 / 8, kita mencari nombor yang apabila didarab dengan 8 memberikan 48.

Jadi, hasil 35 / 7 ialah 5 kerana 7 · 5 = 35. Hasil 48 / 8 ialah 6 kerana 8 · 6 = 48.

Secara am, apabila kita membahagi a / b, hasilnya ialah nombor c yang memenuhi b · c = a.

Walaupun semua contoh tadi menggunakan nombor asli, takrif melalui pendaraban membolehkan kita membahagi sebarang nombor lain juga. Misalnya, kita boleh mencari hasil bahagi −85.76 / 6.7 dengan mencari nombor x yang memenuhi 6.7 · x = −85.76. Syarat ini dipenuhi oleh x = −12.8.

Sifar boleh dibahagi dengan nombor lain

Sifar boleh dibahagi dengan suatu nombor. Ungkapan ini sah: 0 / 15. Sebenarnya, kita mengatakan bahawa kita mahu membahagikan sifar kepada 15 bahagian yang sama. Bayangkan kita tidak mempunyai kek, dan kek yang tidak wujud ini mahu dibahagikan kepada 15 bahagian. Berapakah saiz setiap bahagian? Saiznya sifar kerana kita memang tidak mempunyai kek. Atau bayangkan anda mempunyai sifar ringgit di dalam dompet dan mahu membahagikan sifar ringgit ini kepada tiga orang kanak-kanak. Berapakah yang diterima oleh setiap kanak-kanak? Tiada apa-apa, kerana anda memang tidak mempunyai apa-apa. Oleh itu, 0 / 15 = 0.

Kita boleh membahagi sifar dengan nombor lain, tetapi kita tidak boleh membahagi nombor lain dengan sifar. Ungkapan ini tidak sah: 8 / 0.

Mengapa kita tidak boleh membahagi dengan sifar?

Kita tidak boleh membahagi dengan sifar kerana memang begitulah peraturannya.

Namun, ada sebab yang lebih kukuh. Buat masa ini, kita hanya melihat kes apabila nombor yang dibahagi bukan sifar, iaitu pembahagian berbentuk a / 0 dengan a ≠ 0. Berikut ialah dua sebab:

1. Mari kita kekal dengan analogi memecahkan satu keseluruhan kepada bahagian kecil yang sama besar. Kita mempunyai 15 keping kad permainan yang paling hebat. Sekarang kita mahu membahagikannya kepada sifar orang kanak-kanak. Berapakah bilangan kad yang diterima oleh setiap kanak-kanak?

Hah???

Ya, anda membaca soalan itu dengan betul, dan ya, soalan itu tidak masuk akal. Kita tidak boleh bertanya berapa banyak kad yang diterima oleh setiap kanak-kanak apabila tiada seorang kanak-kanak pun yang boleh menerimanya. Oleh itu, pembahagian dengan sifar juga tidak bermakna, dan kita mengatakan bahawa ungkapan x / 0 tidak tertakrif.

2. Kita telah mentakrifkan pembahagian menggunakan pendaraban. Apabila kita cuba membahagi dengan sifar, 15 / 0, kita mencari nombor x yang memenuhi x · 0 = 15. Namun, sebarang nombor darab sifar ialah sifar. Kita tidak akan menemui x yang menjadikan persamaan ini benar.

Bagaimana pula dengan hasil bahagi 0/0?

Hasil bahagi ini juga tidak tertakrif, sama seperti x / 0. Sebabnya:

Kali ini kita mempunyai sifar kad permainan yang paling hebat dan mahu membahagikannya kepada sifar orang kanak-kanak. Sekali lagi, permintaan ini tidak masuk akal.

Menurut takrif pembahagian, apabila kita membahagi 0 / 0, kita mencari nombor x yang memenuhi x · 0 = 0. Penyelesaiannya wujud, atau lebih tepat lagi, sebarang nombor nyata ialah penyelesaian persamaan ini. Sama ada kita menggantikan x dengan 4, 1 atau π, persamaan itu tetap dipenuhi. Sudah tentu hasil pembahagian tidak boleh menjadi seluruh set nombor nyata. Hal itu tidak bermakna.

Kita perlu memilih satu nombor tertentu daripada seluruh set itu dan mengatakan bahawa nombor inilah hasil pembahagian 0 / 0. Tetapi nombor yang mana? Adakah hasilnya satu? Lapan? Sifar? Negatif satu? Dan mengapa? Mari kita lihat hujah untuk sifar dan untuk satu:

1. Kita tahu bahawa pecahan berbentuk x / x sama dengan satu. Contohnya, 7 / 7 = 1 atau 3 / 3 = 1. Daripada sini, kita mungkin menyimpulkan bahawa 0 / 0 patut ditakrifkan supaya 0 / 0 = 1.
2. Perhatikan jujukan pecahan berikut yang semuanya sah. Dalam setiap pecahan, sifar dibahagi dengan nombor yang semakin hampir kepada sifar:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0.1}& =& 0\\ \frac{0}{0.01}& =& 0\\ \frac{0}{0.001}& =& 0\\ \frac{0}{0.0001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0.0000000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Kita lihat bahawa walau sehampir mana pun pembahagi itu dengan sifar, hasil bahaginya tetap sifar. Daripada sini, kita mungkin menyimpulkan bahawa 0 / 0 = 0.

Kedua-dua hujah ini munasabah sebagai cara mentakrifkan hasil bahagi 0 / 0. Tetapi hujah yang manakah lebih baik? Lagipun, walaupun kita memilih salah satu dan mengisytiharkannya sebagai satu-satunya yang sah, kita tetap akan mendapat percanggahan dengan bahagian lain dalam matematik.

Oleh itu, pembahagian dengan sifar dibiarkan tidak tertakrif.

Hujah terakhir menentang pembahagian dengan sifar

Jika hujah-hujah tadi belum cukup, mungkin dokumentasi foto berikut akan meyakinkan anda. Foto ini merakam kejadian apabila seseorang benar-benar cuba membahagi dengan sifar: