Mengapa kita tidak boleh membahagi dengan sifar

Cuba masukkan 6:0 ke dalam kalkulator. Kalkulator akan membantah dan, sebagai ganti jawapan, memaparkan misalnya “Error” atau “E”. Hal ini bukan karenah guru atau pengeluar kalkulator. Mari kita lihat beberapa sebab mengapa kita tidak boleh membahagi dengan sifar. Semuanya membawa kepada kesimpulan yang sama.

Pembahagian ialah pendaraban terbalik

Apabila mengira 12:3, kita mencari nombor yang apabila didarab dengan tiga memberikan 12. Nombor itu ialah 4 kerana

$$4\cdot 3=12.$$

Jadi, 12:3 = 4. Beginilah pembahagian ditakrifkan, dan setiap hasil bahagi boleh disemak dengan pendaraban.

Sekarang kita gunakan cara yang sama pada sifar. Jika 6:0 ialah suatu nombor x, maka mesti

$$x\cdot 0=6.$$

Namun, sebarang nombor darab sifar ialah sifar. Kita tahu hal ini daripada pendaraban dengan sifar. Sama ada kita menggantikan x dengan satu, sejuta atau negatif tiga, hasilnya sentiasa sifar dan tidak pernah enam. Nombor x seperti itu memang tidak wujud. Oleh itu, hasil bahagi 6:0 tidak mempunyai jawapan.

Berapa kali sifar muat?

Pembahagian juga boleh dilihat sebagai penolakan berulang. Hasil bahagi 12:3 memberitahu berapa kali kita menolak tiga daripada dua belas sehingga mendapat sifar:

$$12-3-3-3-3=0$$

Nombor tiga muat empat kali, jadi 12:3 = 4.

Sebaliknya, bagi 6:0 kita hanya menolak sifar daripada enam. Selepas penolakan pertama, bakinya 6. Selepas penolakan kesepuluh, bakinya juga 6, dan selepas penolakan kesejuta, bakinya masih 6. Lama-kelamaan kita akan bosan. Kita tidak akan sampai ke sifar, dan penolakan itu boleh berterusan tanpa henti. Tiada bilangan penolakan yang boleh ditulis sebagai jawapan.

Apa yang berlaku berhampiran sifar

Kita tidak boleh membahagi dengan sifar, tetapi kita boleh membahagi dengan nombor yang sangat hampir kepada sifar. Ambil nombor satu dan bahagikannya dengan nombor yang semakin kecil:

$$\begin{array}{rcl}1:1& =& 1\\ 1:0.1& =& 10\\ 1:0.01& =& 100\\ 1:0.001& =& 1000\end{array}$$

Semakin kecil pembahagi, semakin besar hasilnya. Pembahagi 0.000001 sudah memberikan sejuta, dan hasilnya bertambah besar tanpa batas.

Jika kita menghampiri sifar dari sebelah negatif, misalnya 1:(−0.001) = −1 000, hasilnya semakin kecil dan menuju ke negatif infiniti. Graf fungsi $y=\frac{1}{x}$ menunjukkannya dengan jelas:

Di sebelah kanan sifar, lengkung itu melonjak ke atas. Di sebelah kiri sifar, lengkung itu jatuh ke bawah. Jadi, dari kanan hasilnya menghampiri infiniti, manakala dari kiri hasilnya menghampiri negatif infiniti. Setiap sebelah menarik kita ke arah yang berbeza. Oleh itu, “infiniti” juga tidak sesuai sebagai hasil 1:0. Jika anda ingin tahu lebih lanjut, baca artikel tentang had sebelah yang menuliskan kelakuan ini dengan tepat.

Tidak bolehkah kita katakan sahaja hasilnya infiniti?

Mari kita cuba dan lihat apa yang rosak. Katakan 1:0 = ∞. Hujah yang sama juga memberikan 2:0 = ∞ kerana nombor dua yang dibahagi dengan nombor yang semakin kecil juga bertambah besar tanpa batas.

Sekarang kita semak kedua-dua hasil bahagi ini dengan pendaraban, seperti pada awal artikel. Daripada 1:0 = ∞ kita peroleh ∞ · 0 = 1, dan daripada 2:0 = ∞ kita peroleh ∞ · 0 = 2. Sebelah kiri kedua-duanya sama, jadi mesti

$$1=2.$$

Sudah tentu hal ini tidak benar. Jadi, kita tidak boleh mengira dengan infiniti seperti nombor biasa.

Namun, ahli matematik tidak takut kepada nombor baharu. Punca kuasa dua bagi negatif satu tidak wujud dalam set nombor nyata. Oleh itu, mereka memperkenalkan nombor baharu i yang memenuhi i² = −1. Daripada sini lahirlah nombor kompleks, dan penambahan, pendaraban serta pengiraan dengan kurungan masih berfungsi di dalamnya. Bagi pembahagian dengan sifar, cara ini tidak berjaya. Walau bagaimana rupa nombor baharu itu, jika peraturan pengiraan yang biasa berlaku baginya, kita akan sentiasa sampai kepada sesuatu seperti 1 = 2, dan pengiraan itu sendiri akan runtuh.

Bagaimana pula dengan sifar dibahagi dengan sifar?

Di sini masalahnya terbalik. Jika 0:0 = x, maka mesti x · 0 = 0. Namun, persamaan ini dipenuhi oleh setiap nombor: 5 · 0 = 0, 1 · 0 = 0 dan juga (−7) · 0 = 0. Hasilnya tidak unik dan kita tidak tahu nombor mana yang patut dipilih. Oleh itu, hasil bahagi 0:0 juga tidak ditakrifkan. Anda boleh membaca lebih lanjut tentangnya dalam artikel tentang pembahagian.

Bukti bahawa 1 = 2

Pembahagian dengan sifar boleh bersembunyi dengan licik. Ambil dua nombor yang sama, a = b, yang bukan sifar, dan lakukan langkah-langkah berikut:

$$\begin{array}{rcl}a& =& b\text{(darab dengan }a\text{)}\\ a^2& =& ab\text{(tolak }{b}^2\text{)}\\ a^2-b^2& =& ab-b^2\end{array}$$

Sebelah kiri difaktorkan menggunakan identiti a² − b² = (a + b)(a − b), manakala pada sebelah kanan kita keluarkan faktor sepunya b:

$$\begin{array}{rcl}(a+b)(a-b)& =& b(a-b)\text{(bahagi dengan }(a-b)\text{)}\\ a+b& =& b\end{array}$$

Oleh sebab a = b, kita boleh menggantikan a dengan b:

$$\begin{array}{rcl}2b& =& b\text{(bahagi dengan }b\text{)}\\ 2& =& 1\end{array}$$

Setiap langkah kelihatan tidak bersalah, tetapi kita telah “membuktikan” sesuatu yang karut. Di manakah kesilapannya? Cuba cari sebelum anda membaca seterusnya.

Kesilapannya terletak pada pembahagian dengan ungkapan a − b. Oleh sebab a = b, maka a − b = 0. Jadi, kita telah membahagi seluruh persamaan dengan sifar. Oleh itu, semasa menyelesaikan persamaan, kita sentiasa menyemak sama ada ungkapan yang menjadi pembahagi boleh bernilai sifar. Sebaliknya, pembahagian terakhir dengan b tidak menjadi masalah kerana b bukan sifar.

Lihat juga

• Pembahagian nombor
• Pendaraban
• Infiniti
• Had sebelah