Soal pekerjaan bersama

Soal pekerjaan bersama biasanya melibatkan dua tokoh yang mengerjakan pekerjaan yang sama dalam waktu yang berbeda. Tugasnya adalah mencari tahu berapa lama pekerjaan itu selesai jika mereka bekerja bersama.

Contoh soal

Bayangkan kamu bermain sebuah gim yang mengharuskanmu melawan naga. Sang Ksatria menebas naga dengan pedangnya dalam 30 detik, sedangkan Sang Barbar menghajarnya dengan gada bahkan dalam 20 detik. Pertanyaannya, berapa lama mereka mengalahkan naga jika Barbar dan Ksatria melawannya bersama-sama? Berapa banyak “kerja bersama” yang harus mereka lakukan?

Soal ini kita selesaikan dengan terlebih dahulu mencari tahu seberapa besar kerusakan yang dibuat masing-masing pejuang pemberani itu pada naga dalam satu detik. Karena Ksatria mengalahkan naga dalam 30 detik, dalam satu detik dia mengurangi 1/30 nyawa naga, yaitu sepertiga puluh nyawanya. Jika naga punya 180 nyawa, agar Ksatria bisa mengalahkannya dalam tiga puluh detik, setiap detik dia harus mengurangi 180 / 30 = 6 nyawa (yaitu sepertiga puluh dari seluruh nyawanya). Perhatikan bahwa 180 / 30 sama dengan 180 · (1/30).

Barbar mengalahkan naga dalam 20 detik, jadi setiap detik dia mengurangi 1/20 nyawa naga. Naga yang sama dengan 180 nyawa akan kehilangan 180 / 20 = 9 nyawa setiap detik karena Barbar.

Jadi, dalam satu detik Ksatria mengurangi 1/30 nyawa naga, dan Barbar 1/20. Sekarang pertanyaannya, berapa detik yang diperlukan agar kedua pejuang ini mengalahkan naga dengan kekuatan bersama? Kita bisa melihatnya bertahap: berapa nyawa naga yang berkurang dalam dua detik?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Hasilnya seperenam nyawa naga. Kita menjumlahkan 1/30 + 1/20 karena kedua pejuang bertarung bersama, dan penjumlahan itu kita lakukan dua kali karena mereka bertarung selama dua detik. Terlihat bahwa hal ini bisa kita perumum: jika mereka bertarung selama x detik, nyawa naga berkurang sebanyak

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

Sekarang tinggal satu hal: naga kalah jika semua nyawanya habis. Seluruh nyawa dinyatakan dengan bilangan 1, karena pecahan 1/30 menyatakan sepertiga puluh nyawa naga, sehingga bilangan 1 adalah seluruh nyawa naga. Jadi, bentuk tadi cukup kita samakan dengan satu:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

lalu kita cari penyelesaiannya. Kedua ruas persamaan kita kalikan 60, dan kita peroleh:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Hasilnya x = 12. Artinya, mereka mengalahkan naga dalam 12 detik. Lumayan.

Kita bisa memeriksanya dengan menyubstitusikan bilangan konkret. Naga kita punya 180 nyawa, dan hasilnya menyatakan bahwa bersama-sama mereka mengalahkannya dalam 12 detik. Ksatria mengurangi 6 nyawa naga setiap detik, sedangkan Barbar 9. Artinya, dalam 12 detik Ksatria mengurangi seluruhnya 12 · 6 = 72 nyawa, dan Barbar 12 · 9 = 108 nyawa. Bersama-sama mereka mengurangi 72 + 108 = 180 nyawa. Hasil ini cocok, karena semua nyawa naga habis.

Pelajari contoh-contoh soal pekerjaan bersama berikut:

Latihan

• Rizky ingin sekali membeli ponsel baru. Dia berunding dengan ibunya, yang mengatakan akan memberinya uang saku setiap minggu, sehingga setelah 60 minggu uangnya pas untuk membeli ponsel idamannya. Namun, Rizky cukup cerdik, jadi dia juga menemui ayahnya. Ayahnya juga menjanjikan uang dan mengatakan bahwa Rizky bahkan bisa membeli ponsel baru setelah 30 minggu. Sebenarnya, setelah berapa lama Rizky bisa membeli ponsel baru jika dia menerima uang saku mingguan dari ibu dan ayahnya?

Setiap minggu Rizky mendapat 1/60 harga ponsel dari ibunya dan 1/30 harga ponsel dari ayahnya. Persamaannya kita susun dengan cara yang sama seperti tadi:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Bentuk x · 1/60 + x · 1/30 menyatakan bagian harga ponsel yang sudah ditabung Rizky setelah x minggu. Karena kita bertanya kapan uangnya tepat cukup untuk ponsel itu, bentuk ini kita samakan dengan satu. Jika dia ingin membeli tiga ponsel, ruas kanannya adalah tiga.

Kita selesaikan persamaannya. Pertama, kedua ruas kita kalikan 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Hasilnya, Rizky bisa membeli ponsel baru setelah 20 minggu. Kita juga bisa memeriksanya dengan nilai nyata. Jika harga ponsel Rp3.000.000, setiap minggu ibunya memberi 1/60 dari harga itu, yaitu Rp50.000. Ayahnya memberi 1/30 dari harga itu, yaitu Rp100.000. Wah, orang tuanya cukup murah hati. Dalam 20 minggu, dia menerima 20 · 50.000 = 1.000.000 rupiah dari ibunya dan 20 · 100.000 = 2.000.000 rupiah dari ayahnya. Seluruhnya dia menerima 1.000.000 + 2.000.000 = 3.000.000 rupiah.

• Sebuah kolam renang diisi melalui tiga pipa. Pipa pertama mengisi penuh kolam dalam 100 menit, pipa kedua dalam 75 menit, dan pipa ketiga dalam 50 menit. Berapa lama kolam itu terisi penuh jika diisi melalui ketiga pipa sekaligus?

Soal ini sama dengan soal-soal sebelumnya, hanya saja yang bekerja bersama ada tiga, bukan dua. Persamaannya menjadi:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Kedua ruas persamaan kita kalikan 150, lalu kita lanjutkan:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Hasil yang lebih rapi tidak bisa kita dapatkan. Kolam terisi penuh dalam 300/13 menit, yaitu kira-kira 23 menit.

• Perusahaan “Rumput Rapi” bisa memotong rumput sebuah lapangan dalam sepuluh jam. Perusahaan “Babat Habis” memotong rumput lapangan yang sama dalam enam jam. Berapa jam yang diperlukan kedua perusahaan untuk memotong rumput dua lapangan seperti itu jika mereka bekerja bersama?

Berapa bagian lapangan yang dipotong kedua perusahaan dalam x jam? Bentuknya sudah kita kenal:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Karena kita ingin mereka memotong rumput dua lapangan, ruas kanan persamaan bukan 1, melainkan 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Selanjutnya perhitungannya sama. Kedua ruas persamaan kita kalikan 30, lalu kita ubah:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

Kedua lapangan selesai dipotong dalam tujuh setengah jam.

• Seorang perempuan melahirkan bayi setelah sembilan bulan. Berapa bulan yang diperlukan sembilan perempuan untuk melahirkan satu bayi?