Bài toán làm chung công việc

Bài toán làm chung công việc thường có hai nhân vật cùng làm một công việc nhưng mỗi người mất một khoảng thời gian khác nhau. Yêu cầu là tìm xem họ làm xong công việc đó trong bao lâu nếu làm chung với nhau.

Bài toán mẫu

Hãy tưởng tượng bạn đang chơi một trò chơi, trong đó phải chiến đấu với một con rồng. Hiệp sĩ dùng kiếm hạ con rồng trong 30 giây, còn Chiến binh dùng chuỳ đánh gục nó chỉ trong 20 giây. Hỏi nếu Chiến binh và Hiệp sĩ cùng chiến đấu với con rồng thì họ hạ nó trong bao lâu? Họ cần bỏ ra bao nhiêu “công việc chung”?

Ta giải bài toán bằng cách trước hết tìm xem mỗi nhân vật dũng cảm gây cho con rồng bao nhiêu sát thương trong một giây. Vì Hiệp sĩ hạ rồng trong 30 giây, nên mỗi giây anh lấy đi 1/30 số mạng của rồng, tức là một phần ba mươi số mạng. Nếu rồng có 180 mạng, thì để hạ nó trong ba mươi giây, mỗi giây Hiệp sĩ phải lấy đi 180 / 30 = 6 mạng (đó là một phần ba mươi số mạng của nó). Mà 180 / 30 cũng chính là 180 · (1/30).

Chiến binh hạ rồng trong 20 giây, nên mỗi giây lấy đi 1/20 số mạng của nó. Với cùng con rồng có 180 mạng, mỗi giây Chiến binh lấy đi 180 / 20 = 9 mạng.

Vậy mỗi giây Hiệp sĩ lấy đi 1/30 số mạng của rồng, Chiến binh lấy đi 1/20. Bây giờ ta hỏi: hai người hợp sức thì cần bao nhiêu giây để hạ con rồng? Có thể xét từng bước: trong hai giây họ lấy đi của rồng bao nhiêu mạng?

$$\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$$

Đó là một phần sáu số mạng của nó. Ta cộng 1/30 + 1/20 vì hai người chiến đấu cùng nhau, và cộng tất cả hai lần vì họ chiến đấu trong hai giây. Ta thấy có thể tổng quát hoá: nếu chiến đấu trong x giây, họ lấy đi của rồng

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}$$

số mạng. Bây giờ chỉ còn một điều: rồng chết khi bị lấy đi toàn bộ số mạng. Toàn bộ số mạng được biểu thị bằng số 1, vì phân số 1/30 biểu thị một phần ba mươi số mạng của rồng, nên số 1 chính là toàn bộ số mạng của nó. Vậy chỉ cần cho biểu thức trên bằng một:

$$x\cdot \frac{1}{30}+x\cdot \frac{1}{20}=1$$

rồi tìm nghiệm. Nhân hai vế của phương trình với 60, ta được:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{30}+x\cdot \frac{60}{20}& =& 60\\ x\cdot \frac{6}{3}+x\cdot \frac{6}{2}& =& 60\\ 2x+3x& =& 60\\ 5x& =& 60/\cdot \frac{1}{5}\\ x& =& 12\end{array}$$

Ta được x = 12. Nghĩa là họ hạ con rồng trong 12 giây. Không tệ chút nào.

Có thể kiểm tra bằng cách thay các số cụ thể. Ta có con rồng 180 mạng, và kết quả cho biết hai người cùng hạ nó trong 12 giây. Mỗi giây Hiệp sĩ lấy đi của con rồng này 6 mạng, Chiến binh 9 mạng. Nghĩa là trong 12 giây, Hiệp sĩ lấy đi tổng cộng 12 · 6 = 72 mạng, còn Chiến binh 12 · 9 = 108 mạng. Tổng cộng họ lấy đi 72 + 108 = 180 mạng, khớp với việc họ đã lấy đi toàn bộ số mạng của rồng.

Hãy xem thêm các ví dụ có lời giải về bài toán làm chung công việc:

Ví dụ

• Nam rất muốn mua một chiếc điện thoại mới. Nam thoả thuận với mẹ, mẹ nói sẽ cho Nam tiền tiêu vặt hằng tuần và sau 60 tuần Nam sẽ có vừa đủ tiền mua chiếc điện thoại mơ ước. Nhưng Nam vốn là cậu bé lanh lợi, nên cũng đến gặp bố. Bố cũng hứa cho tiền và nói rằng Nam sẽ có điện thoại mới chỉ sau 30 tuần. Hỏi nếu nhận tiền tiêu vặt hằng tuần của cả mẹ và bố thì sau bao lâu Nam có điện thoại mới?

Mỗi tuần Nam nhận của mẹ 1/60 giá điện thoại, của bố 1/30 giá điện thoại. Ta lập phương trình hoàn toàn giống như trường hợp trước:

$$x\cdot \frac{1}{60}+x\cdot \frac{1}{30}=1$$

Biểu thức x · 1/60 + x · 1/30 cho biết sau x tuần Nam tiết kiệm được bao nhiêu phần giá điện thoại. Vì ta hỏi khi nào Nam có vừa đủ tiền mua chiếc điện thoại đó, nên cho biểu thức này bằng một. Nếu Nam muốn mua ba chiếc điện thoại thì vế phải sẽ là số ba.

Giải phương trình. Trước hết nhân hai vế với 60:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{60}{60}+x\cdot \frac{60}{30}& =& 60\\ x\cdot \frac{1}{1}+x\cdot \frac{2}{1}& =& 60\\ x+2x& =& 60\\ 3x& =& 60/\cdot \frac{1}{3}\\ x& =& 20\end{array}$$

Kết quả là sau 20 tuần Nam sẽ có điện thoại mới. Lại có thể kiểm tra bằng cách thay các giá trị thực tế: nếu điện thoại giá 9.000.000 đồng, thì mỗi tuần Nam nhận của mẹ 1/60 giá đó, tức là 150.000 đồng. Của bố Nam nhận 1/30 giá đó, tức là 300.000 đồng. Chà, bố mẹ Nam khá hào phóng. Sau 20 tuần, Nam nhận của mẹ 20 · 150.000 = 3.000.000 đồng, còn của bố 20 · 300.000 = 6.000.000 đồng. Tổng cộng Nam nhận được 3.000.000 + 6.000.000 = 9.000.000 đồng.

• Có ba đường ống dẫn nước vào một bể bơi. Ống thứ nhất bơm đầy bể trong 100 phút, ống thứ hai trong 75 phút và ống cuối cùng trong 50 phút. Nếu mở cả ba ống cùng lúc thì bao lâu bể đầy?

Ví dụ này cũng giống các trường hợp trước, chỉ khác là thay cho hai đối tượng cùng làm việc, ta có ba đối tượng. Phương trình sẽ là:

$$x\cdot \frac{1}{100}+x\cdot \frac{1}{75}+x\cdot \frac{1}{50}=1$$

Nhân hai vế với 150 rồi tiếp tục biến đổi:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{150}{100}+x\cdot \frac{150}{75}+x\cdot \frac{150}{50}& =& 150\\ x\cdot \frac{3}{2}+x\cdot \frac{2}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 150\\ \frac{3}{2}x+2x+3x& =& 150\\ \frac{3}{2}x+5x& =& 150/\cdot 2\\ 3x+10x& =& 300\\ 13x& =& 300/\cdot \frac{1}{13}\\ x& =& \frac{300}{13}\end{array}$$

Không thể có kết quả đẹp hơn: bể đầy sau 300/13 phút, tức là khoảng 23 phút.

• Công ty “Cắt Cỏ Thần Tốc” cắt xong cỏ một cánh đồng trong 10 giờ. Công ty “Dọn Cỏ Bằng Thuốc Nổ” cắt xong cỏ cánh đồng đó trong 6 giờ. Nếu hai công ty làm chung thì cắt xong cỏ hai cánh đồng như vậy trong bao nhiêu giờ?

Trong x giờ, cả hai công ty cắt được bao nhiêu? Đó là biểu thức quen thuộc:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}$$

Nhưng vì ta muốn họ cắt xong hai cánh đồng, nên vế phải của phương trình không phải là 1 mà là 2:

$$x\cdot \frac{1}{6}+x\cdot \frac{1}{10}=2$$

Phần tính toán tiếp theo như cũ. Nhân hai vế của phương trình với 30 rồi biến đổi:

$$\begin{array}{rcl}x\cdot \frac{30}{6}+x\cdot \frac{30}{10}& =& 60\\ x\cdot \frac{5}{1}+x\cdot \frac{3}{1}& =& 60\\ 5x+3x& =& 60\\ 8x& =& 60/\cdot \frac{1}{8}\\ x& =& \frac{60}{8}\\ x& =& \frac{15}{2}\\ x& =& 7,5\end{array}$$

Hai công ty cắt xong cỏ cả hai cánh đồng trong 7,5 giờ.

• Một người phụ nữ sinh một em bé sau chín tháng. Hỏi chín người phụ nữ sinh một em bé sau bao nhiêu tháng?