Nghịch lí Sankt-Peterburg

Nghịch lí Sankt-Peterburg kết hợp thống kê, việc ra quyết định và xác suất. Ở Sankt-Peterburg có một sòng bạc mời ta chơi một trò chơi, trong đó có thể thắng một số tiền nhất định. Nhiệm vụ của ta là tìm xem phí tham gia trò chơi này bao nhiêu thì công bằng.

Luật chơi

Khi ta vào chơi, nhân viên bắt đầu tung đồng xu. Nếu lần tung thứ nhất xuất hiện mặt ngửa thì trò chơi kết thúc và ta thắng 1 nghìn đồng. Nếu xuất hiện mặt sấp thì trò chơi tiếp tục. Ở vòng thứ hai lại tung đồng xu. Nếu xuất hiện mặt ngửa thì trò chơi kết thúc và ta thắng gấp đôi số tiền có thể thắng trước đó, tức là 2 nghìn đồng. Nếu xuất hiện mặt sấp thì tiếp tục. Nếu ở vòng thứ ba xuất hiện mặt ngửa, ta thắng 4 nghìn đồng. Nếu mặt ngửa xuất hiện ở vòng thứ tư, ta thắng 8 nghìn đồng.

Tổng quát: nếu mặt ngửa xuất hiện ở vòng thứ k thì ta thắng 2^{k − 1} nghìn đồng. Câu hỏi bây giờ là: phí tham gia trò chơi này bao nhiêu thì công bằng?

Giá trị kì vọng

Giá công bằng phải dựa trên giá trị kì vọng. Chẳng hạn nếu trung bình ta có thể thắng 100 nghìn đồng thì phí tham gia phải là 100 nghìn đồng, hay đúng hơn là cao hơn một chút để sòng bạc có lãi. Nhưng giá trị kì vọng trong trò chơi của ta là bao nhiêu? Ta viết ra xác suất nhận được từng mức tiền thắng. Cột thứ nhất là số tiền thắng (nghìn đồng), cột thứ hai là khả năng ta đạt được số tiền đó. Chẳng hạn khả năng lần tung thứ nhất xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{2}$. Khả năng xuất hiện mặt sấp trước rồi đến mặt ngửa là $\frac{1}{4}$. V.v.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Bây giờ tính kì vọng thế nào? Ta nhân mỗi số tiền có thể nhận được với xác suất đạt được số tiền đó, rồi cộng tất cả lại. Ta được:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Giá trị kì vọng là vô cực. Như vậy, trong trường hợp lí tưởng, tiền thắng kì vọng là vô hạn. Nghe có vẻ không tệ. Vấn đề là khi đó phí tham gia cũng phải bằng vô cực. Điều đó tất nhiên là vô lí.

Tất nhiên những người phê phán nghịch lí này phản bác rằng không thể chơi trong thời gian vô hạn, không thể thắng một số tiền vô hạn, và ngay cả khi “giảm” số lần tung đồng xu tối đa từ vô hạn xuống một số hữu hạn n nào đó thì ta cũng nhanh chóng đi đến những số tiền mà không ai trên thế giới có. Chẳng hạn sau 41 lần tung, ta đã thắng 2⁴⁰ nghìn đồng, tức là khoảng 1 triệu tỉ đồng. Sau 10 lần tung tiếp theo, ta sẽ thắng số tiền gấp 1.000 lần.

Phí tham gia hữu hạn

Tất nhiên không ai đưa bạn một số tiền vô hạn để trả phí tham gia. Tuy vậy, nghịch lí cũng có thể minh hoạ một phần với số tiền hữu hạn. Với mỗi số tiền (tính bằng nghìn đồng) đều có một số lần tung đồng xu tối đa sao cho giá trị kì vọng đúng bằng số tiền ta cần. Chẳng hạn nếu muốn phí tham gia là 1 triệu đồng (1.000 nghìn đồng), ta quy định số lần tung tối đa là 2.000. Khi đó ta tính tổng sau:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Khi đó giá trị kì vọng là 1000 nghìn đồng. Nếu muốn phí tham gia là D nghìn đồng, ta quy định số lần tung tối đa là 2D.

Nhưng tất nhiên không người tỉnh táo nào trả phí tham gia, chẳng hạn, 1 triệu đồng khi khả năng thắng hơn 1 triệu đồng là cực kì nhỏ.

Tài liệu tham khảo

• Wikipedia tiếng Anh