Санктпетербургски парадокс

Санктпетербургският парадокс смесва статистика, вземане на решения и вероятност. В Санкт Петербург има казино, което ни предлага игра, в която можем да спечелим определена сума пари. Задачата ни е да разберем каква би била справедливата такса за участие в тази игра.

Правила на играта

Ако влезем в играта, крупието започва да хвърля монета. Ако при първото хвърляне се падне ези, играта свършва и ние сме спечелили едно евро. Ако се падне тура, играта продължава. Във втория кръг отново се хвърля монета. Ако се падне ези, играта свършва и ние сме спечелили двойно повече от предишната възможна печалба, т.е. две евро. Ако се падне тура, продължаваме. Ако в третия кръг се падне ези, печелим четири евро. Ако в четвъртия кръг се падне ези, печелим осем евро.

Като обобщим – ако ези се е паднало в k-тия кръг, то сме спечелили 2^{k − 1} евро. Въпросът сега е каква би била справедливата такса за участие в тази игра.

Очаквана стойност

Справедливата цена трябва да се определя от очакваната (средната) стойност. Ако например средно можем да спечелим сто евро, таксата трябва да е сто евро, или по-точно малко повече, за да печели казиното. Каква е обаче очакваната стойност в нашата игра? Ще разпишем вероятностите, с които можем да получим отделните печалби. В първата колона са печалбите, във втората е шансът да постигнем дадената печалба. Например шансът при първото хвърляне да се падне ези е $\frac{1}{2}$. Шансът първо да се падне тура и после ези е $\frac{1}{4}$. И т.н.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Как да пресметнем сега средната стойност? Умножаваме сумата, която можем да получим, по вероятността, с която можем да постигнем тази сума, и всичко събираме. Получаваме:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Очакваната стойност е безкрайност. Средната стойност на печалбата е така, в идеализиран случай, безкрайно много евро. Това не изглежда лошо. Проблемът е, че същевременно и таксата за участие трябва да е равна на безкрайност. Това, разбира се, е безсмислица.

Критиците на този парадокс, разбира се, възразяват, че не можеш да играеш безкрайно дълго време, не можем да спечелим безкрайно много пари и дори ако „намалиш“ максималния брой хвърляния на монетата от безкрайност до някакво крайно число n, пак съвсем скоро стигаш до такива суми, които никой на света няма. Например след 41 хвърляния вече би спечелил 2⁴⁰ евро, което е приблизително един трилион евро (хиляда милиарда евро). След още десет хвърляния би спечелил хиляда пъти повече пари.

Крайна такса

Безкрайно много евро, разбира се, никой няма да ти плати като такса. Парадоксът обаче може да се покаже отчасти и с крайно количество пари. За всяка сума в цели евро съществува максимален брой хвърляния на монетата, за който се получава такава средна стойност, каквато ни трябва. Ако например искаме таксата да е хиляда евро, ще кажем, че максималният брой хвърляния на монетата е 2000. Тогава пресмятаме такава сума:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Средната стойност тогава ще бъде 1000 евро. Ако искаме да имаме такса в размер на D евро, ще кажем, че максималният брой хвърляния на монетата е 2D.

Разбира се, никой разумен човек няма да плати такса например хиляда евро, ако има съвсем минимален шанс да спечели повече от хиляда евро.

Допълнителни източници

• Английска Уикипедия