Парадоксът на вратовръзките

Срещат се така двама приятели, Иван и Георги, на почивка. След няколко чаши вино започват да се басират кой от двамата има по-скъпа вратовръзка.

Условие

Както вече знаем, Иван и Георги започват след няколко чаши вино да се басират кой от тях има по-скъпа вратовръзка. Получили са вратовръзките за Коледа от съпругите си и дори самите те не знаят колко струва вратовръзката. Точната формулировка на баса е следната: ще попитат съпругите си за цената и този, който има по-евтината вратовръзка, получава вратовръзката на другия. Т.е. ако Иван има по-евтина вратовръзка от Георги, Иван получава вратовръзката на Георги. И обратно. Първият въпрос е дали някой от тях е в предимство? Струва ли си за някого от тях да влезе в баса, или шансовете и за двамата са напълно еднакви?

Привидно решение

Може би да. Ще предположим по-нататък, че цената на вратовръзките е различна. Това не променя нищо в решението, защото ако цената беше една и съща, никой нямаше да получи ничия вратовръзка. Пресмятай заедно с мен: Иван има вратовръзка, която струва X евро. За вратовръзката на Георги не знае нищо, няма и други подсказки, така че вероятността да има по-евтина вратовръзка е 50%, а вероятността да има по-скъпа вратовръзка също е 50%. Така, ако Иван има по-скъпата вратовръзка, ще загуби X евро. Но ако има по-евтината вратовръзка, ще получи повече от X евро. И двете с вероятност 50%: има 50% шанс да загуби X евро и 50% шанс да получи повече от X евро.

При една и съща вероятност така може да спечели повече пари (по-скъпа вратовръзка), отколкото може да загуби. А това си струва! Изглежда, че за Иван всичко се развива много добре и че за него ще е по-добре да влезе в баса. Може да получи повече, отколкото може да загуби.

Само че, както вероятно всички се досещате, същото разсъждение може да направи и Георги. И Георги има 50% шанс да загуби вратовръзката си на стойност Y и 50% шанс да спечели вратовръзка на стойност повече от Y.

Очевидно е невъзможно при един и същ бас и двамата участници да са в предимство; нещо трябва да не е наред.

Решение

Първо ще разпишем какво всъщност може да спечели всеки. Ще заместим произволни конкретни цени на вратовръзките. За простота да предположим, че има само две вратовръзки, на цени 30 и 40 евро. Тогава от гледна точка на Иван могат да настъпят следните случаи:

• Иван има вратовръзка за 30 и Георги за 40 → Иван е спечелил 40.
• Иван има вратовръзка за 40 и Георги за 30 → Иван е загубил 40.

(Възможността да имат вратовръзки на една и съща цена изключихме, но това не би било задължително – тогава никой от тях не би спечелил.)

Както се вижда, играе се винаги за едни и същи пари, Иван може или да спечели 40, или да загуби 40. Разбира се, това не зависи от конкретната цена, ако заместиш там суми 25 и 35, винаги ще се играе за 35 евро. Така за никого не си струва да влезе (или да не влезе) в баса, ако няма допълнителна информация.

Ако имахме общо три различни вратовръзки, да кажем за 20, 30 и 40 евро, щяхме да получим малко повече възможности. Първо печалбите на Иван, после загубите на Иван:

• Иван има вратовръзка за 20 и Георги за 30 → Иван е спечелил 30.
• Иван има вратовръзка за 20 и Георги за 40 → Иван е спечелил 40.
• Иван има вратовръзка за 30 и Георги за 40 → Иван е спечелил 40.
• Иван има вратовръзка за 30 и Георги за 20 → Иван е загубил 30.
• Иван има вратовръзка за 40 и Георги за 20 → Иван е загубил 40.
• Иван има вратовръзка за 40 и Георги за 30 → Иван е загубил 40.

Всички възможности са еднакво вероятни. Както се вижда, Иван може да спечели точно толкова пари, колкото може и да загуби. Подобни таблици бихме получили за още повече вратовръзки, винаги Иван би могъл да загуби точно същите суми, които може и да спечели. И тъй като всички възможности са еднакво вероятни, нито един от участниците не е в неизгодно положение.

Основната грешка, която Иван направи, беше, че пресмяташе с фиксирана цена на вратовръзката си. Така не бива да се прави, защото, както се вижда от примера с две вратовръзки, цената на неговата вратовръзка при загуба беше различна от цената на неговата вратовръзка при печалба. Подобно и в следващия пример с три вратовръзки – когато Иван спечели, цената на неговата вратовръзка беше от множеството {20, 30}, но когато загуби, цената беше от множеството {30, 40}. При това Иван продължаваше да пресмята с фиксирана сума.