Nghịch lí cà vạt

Có lần hai vị giám đốc về hưu, ông Hùng và ông Bình, gặp nhau trong một kì nghỉ ở Đà Lạt. Sau vài ấm trà ngon, hai ông bắt đầu cá cược xem ai có chiếc cà vạt đắt tiền hơn.

Đề bài

Như đã biết, sau vài ấm trà, ông Hùng và ông Bình bắt đầu cá cược xem ai có chiếc cà vạt đắt tiền hơn. Chiếc cà vạt này là quà Tết vợ tặng, và chính hai ông cũng không biết cà vạt giá bao nhiêu. Nội dung chính xác của vụ cá cược như sau: hai ông hỏi vợ giá tiền, và người có chiếc cà vạt rẻ hơn sẽ được nhận chiếc cà vạt của người kia. Tức là nếu cà vạt của ông Bình rẻ hơn của ông Hùng thì ông Bình được nhận cà vạt của ông Hùng. Và ngược lại. Câu hỏi đầu tiên: có ai trong hai người có lợi thế không? Có ai nên tham gia cá cược không, hay khả năng của cả hai hoàn toàn như nhau?

Lời giải sai

Có lẽ là có. Từ đây ta giả sử giá hai chiếc cà vạt khác nhau. Điều này không ảnh hưởng đến lời giải, vì nếu giá như nhau thì không ai nhận được cà vạt của ai. Hãy cùng tính: ông Bình có chiếc cà vạt giá X đồng. Ông không biết gì về cà vạt của ông Hùng, cũng không có manh mối nào khác, nên xác suất cà vạt của ông rẻ hơn là 50%, xác suất cà vạt của ông đắt hơn cũng là 50%. Như vậy nếu cà vạt của ông Bình đắt hơn thì ông mất X đồng. Nhưng nếu cà vạt của ông rẻ hơn thì ông được hơn X đồng. Cả hai đều với xác suất 50%: ông có 50% khả năng mất X đồng và 50% khả năng được hơn X đồng.

Như vậy với cùng xác suất, ông có thể được nhiều tiền hơn (một chiếc cà vạt đắt hơn) so với số tiền có thể mất. Thế thì đáng cược! Có vẻ mọi chuyện diễn ra rất thuận lợi cho ông Bình và ông nên tham gia cá cược. Ông có thể được nhiều hơn mất.

Nhưng chắc ai cũng đoán được, ông Hùng cũng có thể lập luận y như vậy. Ông Hùng cũng có 50% khả năng mất chiếc cà vạt giá Y và 50% khả năng được chiếc cà vạt giá hơn Y.

Rõ ràng không thể có chuyện trong cùng một vụ cá cược cả hai người tham gia đều có lợi; chắc chắn có chỗ nào đó sai.

Lời giải

Trước hết ta viết ra xem mỗi người thực sự có thể được gì. Ta thay vào giá cụ thể tuỳ ý của các chiếc cà vạt. Để đơn giản, giả sử chỉ có 2 chiếc cà vạt, giá 300.000 và 400.000 đồng. Khi đó, xét từ phía ông Bình, có thể xảy ra các trường hợp sau:

• Ông Bình có cà vạt giá 300.000 và ông Hùng có cà vạt giá 400.000 → ông Bình được 400.000.
• Ông Bình có cà vạt giá 400.000 và ông Hùng có cà vạt giá 300.000 → ông Bình mất 400.000.

(Trường hợp hai chiếc cà vạt cùng giá ta đã loại trừ, nhưng điều đó không cần thiết: khi đó không ai thắng cả.)

Như vậy số tiền đặt cược luôn như nhau, ông Bình có thể được 400.000 hoặc mất 400.000. Tất nhiên điều này không phụ thuộc vào giá cụ thể: nếu thay vào các số tiền 250.000 và 350.000 thì số tiền đặt cược luôn là 350.000 đồng. Như vậy, nếu không có thêm thông tin, không ai có lợi khi tham gia (hay không tham gia) cá cược.

Nếu có tất cả 3 chiếc cà vạt khác nhau, chẳng hạn giá 200.000, 300.000 và 400.000, thì số khả năng nhiều hơn một chút. Trước hết là các trường hợp ông Bình thắng, sau đó là các trường hợp ông Bình thua:

• Ông Bình có cà vạt giá 200.000 và ông Hùng có cà vạt giá 300.000 → ông Bình được 300.000.
• Ông Bình có cà vạt giá 200.000 và ông Hùng có cà vạt giá 400.000 → ông Bình được 400.000.
• Ông Bình có cà vạt giá 300.000 và ông Hùng có cà vạt giá 400.000 → ông Bình được 400.000.
• Ông Bình có cà vạt giá 300.000 và ông Hùng có cà vạt giá 200.000 → ông Bình mất 300.000.
• Ông Bình có cà vạt giá 400.000 và ông Hùng có cà vạt giá 200.000 → ông Bình mất 400.000.
• Ông Bình có cà vạt giá 400.000 và ông Hùng có cà vạt giá 300.000 → ông Bình mất 400.000.

Các trường hợp này đều đồng khả năng. Như ta thấy, ông Bình có thể được đúng số tiền mà ông cũng có thể mất. Với nhiều cà vạt hơn nữa ta cũng được những bảng tương tự, và điều sau luôn đúng: số tiền ông Bình có thể mất đúng bằng số tiền ông có thể được. Và vì các trường hợp đều đồng khả năng nên không ai trong hai người bị thiệt.

Sai lầm chính của ông Bình là đã coi giá chiếc cà vạt của mình là cố định. Không thể làm vậy, vì như ví dụ với 2 chiếc cà vạt cho thấy, giá cà vạt của ông khi thua khác với giá cà vạt của ông khi thắng. Tương tự ở ví dụ tiếp theo với 3 chiếc cà vạt: khi ông Bình thắng, giá cà vạt của ông thuộc tập hợp {200.000; 300.000}, còn khi thua, giá thuộc tập hợp {300.000; 400.000}. Vậy mà ông Bình vẫn tính với một số tiền cố định.