Đặt nhân tử chung

Trước khi bàn về đặt nhân tử chung, ta xem cách nhân phá ngoặc, vì hai việc này liên quan chặt chẽ với nhau. Thậm chí có thể nói đặt nhân tử chung là phép biến đổi ngược hoàn toàn của nhân phá ngoặc.

Nhân phá ngoặc

Nhân phá ngoặc là một phép biến đổi đơn giản, ta minh hoạ qua ví dụ: tính biểu thức 3 · (5 + 8). Có hai cách làm. Có thể cộng các số trong ngoặc và được 3 · 13, vì 5 + 8 = 13.

Cách thứ hai là nhân phá ngoặc. Nghĩa là lấy số đứng trước ngoặc, số ba, nhân với cả hai số trong ngoặc. Dấu cộng trong ngoặc giữ nguyên. Ta được:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Vì sao nhân phá ngoặc lại đúng

Vì sao được phép làm như vậy, vì sao nhân phá ngoặc cho kết quả đúng? Hãy hình dung tích như một tổng được viết ra. Chẳng hạn khi viết 3 · 7, ta muốn nói là cộng ba lần số bảy, tức là 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Tương tự, có thể viết ra ví dụ có dấu ngoặc: 3 · (5 + 8) cũng chính là (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Vì phép cộng không phụ thuộc vào thứ tự, ta có thể bỏ ngoặc và xếp các số năm và số tám cạnh nhau như sau: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Đến đây ta thấy biểu thức này có thể viết lại bằng phép nhân: 3 · 5 + 3 · 8, đúng như điều ta đã làm khi nhân phá ngoặc.

Ví dụ về nhân phá ngoặc

1. Nhân phá ngoặc 5 · (4 + 7). Lại chỉ cần nhân các số trong ngoặc với năm, ta được 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Nhân phá ngoặc 6 · (x + 4). Đừng ngại ẩn số, cứ nhân ẩn số với sáu như bình thường. Ta được: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Nhân phá ngoặc x · (4 + 173). Bây giờ ẩn số đứng trước ngoặc, nên nhân cả hai số trong ngoặc với x. Ta được x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Nhân phá ngoặc: 4x · (2x + 7). Bây giờ ẩn số có cả trước ngoặc và trong ngoặc, đồng thời biểu thức trước ngoặc phức tạp hơn. Điều đó cũng không sao, ta nhân các hạng tử trong ngoặc với 4x như sau: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Đặt nhân tử chung đơn giản

Đặt nhân tử chung là phép biến đổi ngược với nhân phá ngoặc. Chẳng hạn ban đầu ta có biểu thức 10x + 5. Nếu tìm được một số mà chia cả hai số hạng cho số đó đều ra kết quả gọn, ta có thể đặt số đó ra ngoài làm nhân tử chung. Trong biểu thức này đó là số 5, vì 10x / 5 = 2x và 5 / 5 = 1. Vậy có thể viết

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Nhân phá ngoặc ngược lại 5 · (2x + 1), ta lại được 10x + 5. Mục đích của đặt nhân tử chung thường là rút gọn biểu thức hoặc đưa nó về dạng tích để có thể rút gọn trong phân số.

Đặt ẩn số làm nhân tử chung

Ta không chỉ đặt số ra ngoài, mà rất hay đặt chính ẩn số làm nhân tử chung. Chẳng hạn với biểu thức 3x² + 7x, có thể đặt x ra ngoài, tức là chia cả hai hạng tử cho x, thêm dấu ngoặc và nhân ngoặc với x. Ta được 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Thông thường ta cố đặt ra ngoài “nhiều” nhất có thể. Chẳng hạn với biểu thức 8x² + 12x, có thể chỉ đặt x ra ngoài và được 8x² + 12x = x · (8x + 12), nhưng ta thấy trong ngoặc còn có thể đặt tiếp số 4 ra ngoài. Làm điều đó ngay bây giờ, ta được: x · (4 · (2x + 3)). Bỏ ngoặc ngoài, ta được: 4x · (2x + 3).

Ta cũng sẽ được cùng kết quả nếu đặt luôn 4x ra ngoài từ biểu thức ban đầu 8x² + 12x. Viết chi tiết ra, ta được

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Đặt nhân tử chung với biểu thức phức tạp hơn

Đến giờ ta mới đặt nhân tử chung ở biểu thức có hai số hạng. Nhưng cũng có thể làm vậy với biểu thức dài hơn. Chẳng hạn từ 7x³ + 5x² + 2x có thể đặt x ra ngoài và được x · (7x² + 5x + 2).

Cũng không nhất thiết phải đặt ra ngoài một số “đẹp”, ta có thể đặt ra ngoài bất cứ thứ gì. Chẳng hạn từ biểu thức 6x + 7 có thể đặt số 2 ra ngoài, nhưng kết quả sẽ không đẹp, vì phải chia cả hai hạng tử cho hai. Với 6x thì ổn, vì 6x / 2 = 3x, nhưng với số 7 thì không đẹp lắm: 7 / 2 = 3,5. Ta được biểu thức: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Ví dụ có lời giải

• Đặt nhân tử chung cho gọn: 25x + 45. Nhìn qua đã thấy có thể đặt số 5 ra ngoài, ta được 5 · (5x + 9).

• Rút gọn phân thức

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Trước hết đặt x ra ngoài ở tử số. Ở tử ta được x · (3x + 7). Bây giờ có thể rút gọn x trong cả phân thức.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Đặt nhân tử chung cho gọn: −2x² − 8x. Lần đầu tiên ta gặp số âm. Điều đó không sao cả: đặt số dương ra ngoài được thì đặt số âm ra ngoài cũng được. Có thể đặt luôn −2x ra ngoài. Ta được

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$