Sudut dalam semibulatan

Teorem Thales menyatakan bahawa setiap segi tiga yang pusat bulatan luarnya terletak pada salah satu sisinya ialah segi tiga bersudut tegak. Dalam buku teks, hal ini dinyatakan sebagai: sudut dalam semibulatan ialah 90°.

Bulatan dengan diameter AC

Lama dahulu, Thales dari Miletus menemui satu sifat menarik bagi segi tiga. Lukis sebuah segi tiga dan bulatan luarnya supaya pusat bulatan itu membahagi dua sama hipotenus (sisi yang paling panjang) segi tiga itu. Lihat rajah berikut:

Dalam rajah, kita mempunyai bulatan k yang berpusat di titik S. Bulatan ini ialah bulatan luar segi tiga ABC, iaitu bulatan ini melalui semua bucu segi tiga. Sifat yang penting ialah hipotenus melalui pusat bulatan, iaitu melalui titik S.

Maka, sudut pedalaman ABC sentiasa bersaiz 90°, iaitu sudut tegak.

Ke mana pun kita gerakkan bucu B di sepanjang bulatan, kita sentiasa memperoleh sudut tegak di bucu ini. Beberapa contoh lain:

Bukti

Mari kita buktikan mengapa segi tiga dalam bulatan ini sentiasa bersudut tegak. Kita ubah sedikit rajah pertama:

Segi tiga SCB dan ASB ialah segi tiga sama kaki kerana setiap satu mempunyai dua sisi yang sama panjang. Dalam segi tiga SCB, sisi itu ialah SC dan SB, kerana panjang kedua-duanya sama dengan jejari bulatan. Dalam segi tiga kedua pula, sisi itu ialah SA dan SB.

Oleh itu, sudut BCS dan sudut SBC sama besar, dan dalam rajah ditandakan dengan huruf β. Hal yang sama berlaku dalam segi tiga kedua, dengan sudut yang ditandakan α.

Kita juga tahu bahawa hasil tambah sudut dalam segi tiga sentiasa 180°. Sekarang kita ungkapkan hasil tambah sudut dalam segi tiga ABC dalam sebutan sudut α dan β. Hubungan berikut mesti benar:

$$\alpha +\beta +\alpha +\beta =180.$$

Satu sudut α mewakili sudut CAB, dan sudut α yang lagi satu mewakili sudut ABS. Begitu juga bagi sudut β. Kita permudahkan sedikit persamaan tadi:

$$2\alpha +2\beta =180$$

Kita bahagikan persamaan dengan dua:

$$\alpha +\beta =90$$

Bukti sudah lengkap. Kita tahu bahawa hasil tambah sudut α + β ialah 90, dan kita tahu bahawa sudut α dan β bersama-sama membentuk sudut pedalaman ABC yang sedang dikaji.

Pautan dan sumber

• Wikipedia