Isi padu dan luas

Mula-mula, sedikit teori secara ringkas, sekiranya ada yang belum tahu. Perimeter sesuatu bentuk ialah hasil tambah panjang semua sisinya dan dinyatakan dalam meter atau unit terbitannya. Perimeter biasanya ditandakan dengan huruf P. Luas sesuatu bentuk ialah saiz kawasan yang diliputi oleh bentuk itu dan diukur dalam meter persegi. Dalam matematik, meter persegi ditulis dengan angka dua sebagai superskrip: m². Luas biasanya ditandakan dengan huruf L. Isi padu ialah ruang yang diisi oleh sesuatu pepejal. Secara ringkas, isi padu menyatakan berapa banyak air yang boleh dituang ke dalamnya. Isi padu diukur dalam meter padu dan unit terbitannya, dan unit isi padu ditulis dengan angka tiga sebagai superskrip: m³. Isi padu biasanya ditandakan dengan huruf V. Luas dan isi padu juga boleh dinyatakan dalam unit lain yang mungkin lebih kerap digunakan dalam kehidupan seharian, seperti ar atau hektar bagi luas dan liter bagi isi padu. Secara umum, luas dan isi padu boleh dikira menggunakan kamiran.

Segi empat sama dan segi empat tepat

Kedua-dua bentuk ini berdimensi dua, jadi kita hanya mengira perimeter dan luasnya. Segi empat sama paling mudah kerana mengikut takrif, semua sisinya sama panjang. Jadi, untuk mengira perimeter segi empat sama, kita hanya perlu mendarabkan panjang satu sisi dengan empat (bilangan sisi): P=4a. Perimeter segi empat tepat hanya sedikit lebih rumit. Segi empat tepat mempunyai dua pasang sisi yang sama panjang, jadi ada dua cara: tambah semua sisi, atau darabkan panjang dua sisi yang berbeza dengan dua dan tambahkan hasilnya: P=2a+2b.

Luas segi empat sama sama sekali tidak lebih sukar daripada perimeternya. Darabkan panjang satu sisi dengan panjang sisi yang lain. Oleh sebab semua sisi segi empat sama sama panjang, kita memperoleh rumus L = a·a = a². Segi empat tepat dikira dengan cara yang sama, cuma sisinya tidak semuanya sama panjang, jadi anda perlu mendarabkan dua sisi berlainan yang saling serenjang: L=a·b.

Segi empat selari

Segi empat selari ialah bentuk yang serupa dengan segi empat tepat, tetapi dua sisinya yang bertentangan condong, seperti dalam rajah di bawah perenggan ini. Perimeter segi empat selari mudah dan pada dasarnya sama seperti perimeter segi empat tepat: P=2a+2b. Namun, luasnya lebih menarik. Untuk mengira luas segi empat selari, kita perlu menukarnya menjadi segi empat tepat. Rajah berikut menunjukkan caranya:

Mula-mula, kita potong bahagian segi empat selari yang berlebihan (bahagian berwarna) dan letakkan bahagian itu di sebelah yang satu lagi. Hasilnya ialah segi empat tepat:

Barulah kita boleh mengira luas segi empat selari dengan mudah, dan rumusnya sama seperti bagi segi empat tepat. Namun, menukar bentuk secara grafik tidak praktikal, jadi kita menggunakan rumus ringkas yang terhasil daripada penukaran itu. Sisi a sama bagi segi empat tepat dan segi empat selari, hanya sisi yang satu lagi berbeza. Jadi, bagi segi empat selari, kita menggunakan tinggi segi empat selari, bukan sisi b. Tinggi ini sama dengan sisi b dalam segi empat tepat yang terhasil. Rajah berikut menunjukkan perkara ini dengan jelas (kita mendarabkan sisi yang berwarna merah):

Rumusnya ialah: L=t_a·a.

Trapezium

Perimeternya jelas: tambah semua sisi. Luas trapezium lebih mencabar. Secara teori, kita boleh menggunakan cara yang sama seperti bagi segi empat selari, tetapi kita tidak tahu sama ada kita patut menggunakan sisi yang lebih panjang (AB) atau yang lebih pendek (CD).

Oleh itu, kita menggunakan satu helah: kita kira panjang purata dua sisi yang selari dan menggunakan panjang itu. Jadi, kita tambah panjang sisi AB dan CD, bahagikan dengan dua, dan kemudian kira seperti bagi segi empat selari, iaitu darabkan dengan tinggi untuk memperoleh luas. L=(a+c)/2 · t_a.

Segi tiga

Segi tiga ialah bentuk dua dimensi, jadi kita boleh mengira perimeter dan luasnya, tetapi segi tiga tidak mempunyai isi padu. Perimeter segi tiga diperoleh dengan menambah semua sisinya. Rumus amnya ialah: P=a+b+c. Sudah tentu, terdapat kes khas. Misalnya, segi tiga sama sisi mempunyai semua sisi yang sama panjang, jadi kita hanya perlu mendarabkan panjang satu sisi dengan tiga. Rumusnya menjadi: P'=3a.

Untuk mengira luas segi tiga, kita memerlukan sedikit pengubahsuaian. Kita perlu menukar segi tiga menjadi segi empat selari (sama seperti kita menukar segi empat selari menjadi segi empat tepat tadi). Lakaran berikut menunjukkan caranya:

Daripada rajah ini, cara mengira luas segi tiga sepatutnya sudah jelas. Kira seperti luas segi empat selari, kemudian bahagikan hasilnya dengan dua: L=(t_c·c)/2

Bulatan

Bulatan istimewa kerana perimeter dan luasnya tidak dapat ditulis dengan tepat sebagai nombor perpuluhan. Apa sahaja yang hendak dikira bagi bulatan, kita hampir sentiasa memerlukan pemalar pi, iaitu π. Perwakilan perpuluhan π tidak terhingga kerana π ialah nombor bukan nisbah, tetapi nilai hampiran yang biasa digunakan (jika nilainya tidak tersimpan dalam kalkulator anda) ialah 3.14.

Sekarang mari kita lihat rumusnya. Sejak zaman dahulu, para pemikir cuba mencari cara mengira perimeter bulatan, iaitu lilitan bulatan. (Secara tepat, bulatan sebagai garis lengkung tidak mempunyai bahagian dalam dan oleh itu tiada luas. Apabila kita bercakap tentang luas bulatan, yang dimaksudkan ialah rantau bulatan, iaitu garis lengkung itu bersama kawasan di dalamnya.) Para pemikir mendapati bahawa nisbah lilitan kepada diameter (yang mudah diukur) sentiasa sama, dan lama-kelamaan mereka juga mengira berapa kali lilitan lebih panjang daripada diameter. Hasilnya – tepat pi kali. Jadi, lilitan bulatan ialah P=π·d=2·π·r (rumus kedua yang lebih panjang lebih kerap digunakan kerana biasanya jejari lebih mudah diketahui daripada diameter), dengan d ialah diameter dan r ialah jejari bulatan.

Luas bulatan pula ialah L=π·r². Tidak banyak lagi yang perlu dikatakan :-)

Kubus dan kuboid

Kedua-dua ini ialah pepejal tiga dimensi yang pertama, jadi kita mengira luas permukaan dan isi padunya. Kubus mempunyai enam muka dan semua mukanya segi empat sama, jadi caranya jelas: kira luas satu muka dan darabkan dengan enam. L=6a². Bagi kuboid, pengiraannya lebih panjang kerana mukanya tidak semuanya sama. Pada dasarnya, anda hanya perlu mengira luas tiga muka yang berbeza, menambahnya dan mendarabkan hasilnya dengan dua untuk memperoleh luas permukaan kuboid: L=(a·b + b·c + a·c)·2.

Isi padu kubus dikira sama seperti luas segi empat sama, cuma kita tidak boleh lupa bahawa kita kini berada dalam ruang. Ringkasnya, ambil panjang sisi dan naikkan kepada kuasa tiga: V=a³. Kuboid dikira dengan cara yang serupa, cuma ketiga-tiga sisi perlu didarab secara berasingan kerana panjangnya berbeza: V=a·b·c.

Sfera

Luas permukaan sfera dikira dengan rumus L=4·π·r², manakala isi padu sfera ialah V=4/3·π·r³. Jika anda ingin membaca pembuktian rumus isi padu sfera yang agak rumit, lihat prinsip Cavalieri.

Silinder

Luas permukaan silinder dikira sebagai hasil tambah luas dua tapak dan luas permukaan melengkung. Tapaknya ialah bulatan biasa, jadi luas satu tapak sama dengan luas bulatan:

$$L_p=\pi \cdot r^2$$

Permukaan melengkung silinder hanyalah segi empat tepat yang “digulung”. Panjang satu sisinya sama dengan tinggi silinder (kita tandakan sebagai t), manakala sisi yang satu lagi sama dengan lilitan bulatan tapak. Jadi, luas permukaan melengkung ialah:

$$L_s=t\cdot 2\pi r$$

Luas permukaan seluruh silinder ialah:

$$L=2\cdot L_p+L_s=2\pi r^2+2t\pi r=2\pi r(r+t)$$

Isi padu silinder lebih mudah, iaitu tinggi didarab dengan luas tapak. Luas tapak sudah dikira dalam langkah sebelumnya. Hasilnya:

$$V=t\cdot \pi r^2$$

Piramid dan kon

Luas permukaan piramid secara umumnya dikira sebagai hasil tambah luas tapak dan luas semua muka sisi. Tiada rumus am yang benar-benar berguna untuknya. Isi padu piramid ada kaitan dengan pengiraan luas segi tiga: ambil luas tapak dan darabkan dengan tinggi piramid. Kemudian, bahagikan hasilnya dengan tiga untuk memperoleh isi padu piramid. V=(L_p · t)/3, dengan L_p ialah luas tapak.

Luas permukaan kon tegak sama dengan hasil tambah luas tapak dan luas permukaan melengkung. Luas tapak jelas, iaitu bulatan biasa: L=π·r². Luas permukaan melengkung lebih rumit sedikit. Bayangkan anda “membentangkan” permukaan melengkung itu di atas meja. Hasilnya ialah sejenis sektor bulatan yang luasnya: L=π·r·s, dengan s ialah tinggi sendeng (jarak dari bucu kon ke tepi tapak, lebih kurang seperti tepi sisi piramid). Isi padu kon ialah V=(π · r² · h)/3, dengan h ialah tinggi kon.

Contoh pengiraan luas

Hitung luas bentuk berikut (andaikan ukuran pada paksi dalam meter):

Sekali pandang, kita dapat melihat bahawa bentuk ini ialah sejenis poligon am, dan tiada rumus yang boleh digunakan terus bagi keseluruhannya. Jadi, kita perlu membahagikannya kepada bahagian yang lebih kecil yang dapat kita kira. Cara paling mudah ialah menjadikan bahagian bawah sebuah segi tiga dan bahagian atas sebuah trapezium. Pembahagian ini ditunjukkan dalam rajah berikut:

Sekarang kita kira luas segi tiga ABE menggunakan rumus L=(a · t_a)/2. Dalam kes ini, sisi a ialah sisi AE, dan tinggi kepada sisi ini ialah sisi EB. Kita lihat bahawa |AE|=3 m dan |EB|=1 m. Dengan menggantikan nilai ini ke dalam rumus, kita memperoleh: L=(3 · 1)/2=1.5 m².

Dalam langkah kedua, kita kira luas trapezium menggunakan rumus L=(a+c)/2 · t_a. Dalam kes kita, sisi a ialah sisi AE dan sisi c ialah sisi DC. Tingginya juga mudah dibaca daripada rajah, iaitu panjang tembereng garis EC. Dengan menggantikan nilai ke dalam rumus, kita memperoleh: L=(3+2)/2 · 2=5 m².

Akhir sekali, kita tambah kedua-dua hasil separa itu untuk memperoleh luas keseluruhan bentuk. L=1.5 m² + 5 m² = 6.5 m².

Hitung luas bentuk berikut (andaikan ukuran pada paksi dalam meter):

Sekali lagi, jelas bahawa satu rumus sahaja tidak mencukupi dan kita perlu mengubah suai bentuk itu. Kita akan mengira seperti berikut: kira luas “segi empat sama”, tambah tiga per empat luas bulatan, dan tolak segi tiga kecil di bahagian kiri bawah:

Luas segi empat sama mudah dikira: L₁ = 2 · 2 = 4 m². Dalam langkah kedua, kita kira luas bulatan. Sekali lagi, kita hanya menggantikan nilai ke dalam rumus: L₂ = π · 1² · 3/4 = 3π/4. Yang tinggal hanyalah mengira luas segi tiga DEI dan menolaknya daripada luas segi empat sama. Sisi EI dan tingginya DI kedua-duanya sepanjang 1 m, jadi luas segi tiga ialah L₃ = ½.

Dalam langkah terakhir, kita tambah dan tolak hasil separa: L = L₁ + L₂ − L₃ = 3.5 m² + 3π/4 m².