Hoek

Als je een hoek hebt en die ergens anders wilt kopiëren, kun je de methode van het overbrengen van hoeken gebruiken.

Wat is een hoek

De definitie van een hoek is niet helemaal eenvoudig en er bestaan verschillende versies. Voor ons doel volstaat deze: een hoek is het deel van het vlak dat wordt begrensd door twee halve lijnen met hetzelfde beginpunt. Belangrijk in deze definitie is dat een hoek niet alleen die twee benen zijn, maar het hele gebied, het hele deel van het vlak dat door die twee benen wordt ingesloten. Zie de volgende afbeelding:

De vorige afbeelding was niet helemaal juist, want we hebben niet gezegd welke hoek we bedoelen. Op het eerste gezicht zouden we ons bij hoek ABC wel het genoemde gebied kunnen voorstellen, maar we zouden ons net zo goed het andere deel van het vlak kunnen voorstellen:

Daarom moeten we bij het opschrijven van hoeken onderscheid maken tussen een convexe hoek (die kleiner is dan 180°) en een niet-convexe hoek (groter dan 180°). Een niet-convexe hoek noemen we ook wel een concave hoek. Dat kunnen we noteren met behulp van een georiënteerde hoek.

Een hoek kan een positieve of een negatieve oriëntatie hebben. Bij een positieve oriëntatie gaan we tegen de wijzers van de klok in en bij een negatieve met de wijzers van de klok mee. Bij het opschrijven van hoek ABC wordt dus eerst de halve lijn BA genoemd en daarna de halve lijn BC. In de positieve richting kijken we naar de halve lijn BA en draaien we verder tegen de wijzers van de klok in. In ons voorbeeld hierboven zouden we de eerste afbeelding krijgen, de convexe hoek. Als we de negatieve richting zouden kiezen, kregen we de niet-convexe hoek, dus de tweede afbeelding. Standaard rekenen we met de positieve richting, en ook in dit artikel zijn de notaties in positieve zin opgeschreven.

Een hoek bestaat dus uit twee benen die de hoek begrenzen, uit het hoekpunt waar die halve lijnen vandaan komen en uit het gebied dat door de benen van de hoek wordt ingesloten. Als we hoek ABC hebben, zijn de benen van de hoek BA en BC en is het hoekpunt B.

Grootte van een hoek

Zoals we de lengte van een lijnstuk kunnen meten, kunnen we ook de grootte van een hoek meten. Die meet je óf in de gewone graden, die je vast kent, óf in radialen. Graden zijn eenvoudig: 90° is een rechte hoek (de binnenhoeken van een vierkant zijn bijvoorbeeld allemaal 90°), 180° is een gestrekte hoek (die vormen bijvoorbeeld twee tegengestelde halve lijnen) en 360° is een volle hoek (die vormen halve lijnen die op elkaar liggen — zo'n hoek bestaat uit het hele omringende vlak). Een graad wordt verder verdeeld in minuten (genoteerd met ′) en seconden (genoteerd met ″). Eén graad heeft 60 minuten en één minuut heeft zestig seconden. 1° = 60′ en 1′ = 60″.

Afbeeldingen van de afzonderlijke hoeken:

Hoeken in radialen zijn wat moeilijker voor te stellen, want radialen zijn dimensieloos. De grootte van een radiaal en andere eigenschappen heb ik al beschreven bij de goniometrische functies, dus dat ga ik niet herhalen.

Naar grootte kunnen we hoeken verder indelen in een scherpe hoek, die kleiner is dan 90°, en een stompe hoek, die tussen 90° en 180° ligt. Dit is een soort deelverzameling van de convexe hoeken die ik hierboven liet zien. Een niet-convexe hoek is groter dan 180° en wordt niet verder ingedeeld.

Paren hoeken

Bepaalde paren hoeken hebben speciale eigenschappen die goed zijn om te weten.

• Overstaande hoeken zijn hoeken die hetzelfde hoekpunt hebben en waarvan de benen tegengestelde halve lijnen vormen. Overstaande hoeken zijn altijd gelijk, ze hebben dezelfde grootte.

• Nevenhoeken zijn hoeken die één been gemeenschappelijk hebben en waarvan de andere benen tegengestelde halve lijnen zijn. De som van nevenhoeken is altijd gelijk aan 180°, een gestrekte hoek.

• F-hoeken (overeenkomstige hoeken) zijn hoeken waarvan de eerste benen evenwijdig zijn en de tweede op één lijn liggen. Ook moeten de hoeken dezelfde oriëntatie hebben. F-hoeken zijn gelijk.

Er bestaan nog andere soorten hoeken, maar dat zijn alleen nog liggingen die je kunt afleiden uit de drie hierboven beschreven situaties.

Bewerkingen met hoeken

Met hoeken kunnen we enkele elementaire bewerkingen uitvoeren. De eenvoudigste is optellen. Numeriek kun je er bijna niets aan verkeerd doen: je telt gewoon de groottes van de hoeken op. Als een hoek groter is dan 360°, schrijf je hem meestal om naar een eenvoudigere vorm, ergens in het interval 0° − 360°. Het is alsof je in een talstelsel met grondtal driehonderdzestig rekent. Als in een opgave minuten of seconden voorkomen, moet je op dezelfde manier rekenen in het zestigtallig stelsel (zoals met een gewone klok).

Voor de zekerheid dus één voorbeeld. Tel deze hoeken op: α = 183° 51′ en β = 222° 24′. Eerst berekenen we de minuten: 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (de werkwijze is eenvoudig: je deelt 75 door zestig. Het resultaat geeft het aantal graden en de rest het aantal resterende minuten). Nu berekenen we de graden: 183° + 222° = 405°. Bij dit tussenresultaat tellen we het vorige resultaat op: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Nu trekken we net zo lang 360 van deze hoek af totdat hij tussen 0 en 360 ligt. We doen dat omdat we, als we een hoek van 360° tekenen, weer aan het begin zijn: een hoek van 361° ziet er op papier hetzelfde uit als een hoek van 1°. Dat leidt tot deze berekening: 406° 15′ = 46° 15′.

• Wikipedia