Hoe teken je een driehoek

Een driehoek is een veelhoek met precies drie zijden. Deze zijden noteren we met kleine letters, klassiek a, b, c. Een driehoek heeft ook drie hoekpunten, die we met hoofdletters noteren, klassiek A, B, C. Zijde a komt dan overeen met lijnstuk BC, zijde b met lijnstuk AC en zijde c met lijnstuk AB. Zijde a ligt altijd tegenover hoekpunt A, en voor de andere zijden is dat net zo.

We kennen alle drie de zijden

Als we de lengtes van alle drie de zijden kennen, is het tekenen van de driehoek een koud kunstje. We kiezen een van de zijden, bijvoorbeeld AB, en tekenen die als een gewoon lijnstuk. Daarna moeten we uitzoeken waar het derde punt ligt. Dat is eenvoudig: je neemt een passer, prikt die in punt B en tekent een cirkel met als straal de lengte van zijde BC, bijvoorbeeld vijf centimeter. Zo vinden we waar punt C overal zou kunnen liggen, zodat het precies vijf centimeter van punt B af ligt. Daarna doen we hetzelfde met zijde AC en punt A. Nu hebben we twee cirkels en hun snijpunt geeft het punt dat van hoekpunt A de gegeven afstand in centimeters heeft en van punt B ook.

We kennen twee zijden en een hoogtelijn

Elke zijde van een driehoek heeft zijn hoogtelijn, die gedefinieerd is als de loodlijn vanuit het overstaande hoekpunt op die zijde. Als die loodlijn de zijde niet direct zou snijden, moeten we de zijde verlengen tot de plaats waar ze de loodlijn snijdt. De basiseigenschap van een hoogtelijn is dus dat hij loodrecht staat op de zijde waarbij hij hoort. Dat wordt vaak gebruikt bij rekenopgaven, omdat we dan de stelling van Pythagoras kunnen gebruiken. De hoogtelijn op zijde c noteer je meestal met de kleine letter h en als index de aanduiding van de zijde waarbij de hoogtelijn hoort. In ons geval dus h_c. Het voetpunt van de loodlijn (het snijpunt van de zijde met de loodlijn) wordt op dezelfde manier aangeduid, alleen schrijven we in plaats van de kleine h een hoofdletter H: H_c.

We hebben de hoogtelijn vanuit hoekpunt C getrokken. Het andere punt ligt op de overstaande zijde AB (oftewel zijde c) en lijnstuk CH_c staat loodrecht op zijde c. Punt H_c heet het voetpunt van de hoogtelijn; zijde c noemen we de basis. Het voetpunt noemen we meestal naar de letter H met als index het hoekpunt waar de hoogtelijn vandaan komt. In dit geval is dat hoekpunt C.

Een hoogtelijn teken je vrij gemakkelijk, je neemt een geodriehoek en trekt een loodlijn op zijde c zo dat die loodlijn precies door punt C gaat. Dat is alles.

Een hoogtelijn kunnen we vanuit elk hoekpunt van de driehoek trekken. Alle hoogtelijnen snijden elkaar dan in een punt dat het hoogtepunt (orthocentrum) heet. Het hoogtepunt kan binnen de driehoek liggen, maar dat hoeft niet. Bij een scherphoekige driehoek ligt het hoogtepunt binnen de driehoek.

We kennen twee zijden en een zwaartelijn

Behalve de hoogtelijn heeft elke driehoek ook nog drie zwaartelijnen. Een zwaartelijn is een lijnstuk dat een hoekpunt verbindt met het midden van de overstaande zijde. Alle drie de zwaartelijnen snijden elkaar in één punt, dat het zwaartepunt heet. Dit zwaartepunt verdeelt de zwaartelijnen altijd in de verhouding 2:1 — het deel van de zwaartelijn vóór het zwaartepunt is twee keer zo groot of twee keer zo klein als het andere deel achter het zwaartepunt. Zwaartelijnen noteren we met de kleine letter z en met als index de zijde waarbij ze horen. Het zwaartepunt geven we meestal aan met de hoofdletter Z.

Als je twee zijden kent en de zwaartelijn bij een van die twee zijden, teken je de driehoek heel gemakkelijk. Je begint weer met het tekenen van zijde AB en daarna zoek je uit waar punt C ligt door twee cirkels te tekenen, de eerste met middelpunt B (of A, als je de lengte AC kent) en de tweede met middelpunt in het midden van zijde AB. Het punt waar de cirkels elkaar snijden is het gezochte punt C. De werkwijze is dezelfde als bij drie gegeven zijden, alleen teken je in plaats van driehoek ABC eerst driehoek M_cBC, waaruit je het gezochte hoekpunt C vindt.

We kennen twee zijden en een andere zwaartelijn

Bekijk eerst de schets van hoe het ongeveer zou moeten zijn:

De rood aangegeven grootheden kennen we en daarmee moeten we de hele driehoek tekenen. De werkwijze is als volgt — we vullen deze driehoek aan tot een vierhoek en aan de hand van de vierhoek tekenen we de rest. Dat legt de volgende afbeelding duidelijk uit (ik herinner je eraan dat de lengte BD gelijk is aan twee keer de lengte van z_b).

Deze vierhoek tekenen we eenvoudig. Eerst tekenen we driehoek ABD. De lengte van zijde AB kennen we, de lengte van zijde BD is 2z_b en de lengte AD is gelijk aan de lengte BC. Punt C vinden we ofwel doordat we punt M_b zoeken, het midden van lijnstuk BD, en dan alleen nog de halve lijn AM_b tekenen, waarbij de lengte AC de lengte 2AM_b is. De tweede mogelijkheid is een lijn evenwijdig aan zijde AB te tekenen, waarbij punt C op die lijn ligt en van punt D een afstand |AB| heeft.